Holdet 2022 MAA/m - Undervisningsbeskrivelse - Lectio

Holdet 2022 MAA/m - Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse

Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser

Termin(er)	2022/23 - 2024/25
Institution	Rungsted Gymnasium
Fag og niveau	Matematik A
Lærer(e)	Lotte Sejer Nørtoft, Maria Folsach Graham
Hold	2022 MAA/m (1m MAA, 2m MAA, 3m MAA)

Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Titel 1	Procentregning
Titel 2	Eksponentielle sammenhænge 1
Titel 3	Andengradsligninger
Titel 4	Trigonometri
Titel 5	Vektorer
Titel 6	Eksponentielle sammenhænge 2
Titel 7	Potensfunktioner
Titel 8	Polynomier
Titel 9	Differentialregning 1
Titel 10	Logaritmer
Titel 11	Trigonometriske funktioner
Titel 12	Differentialregning 2
Titel 13	Funktioner af to variable
Titel 14	SRO optakt
Titel 15	Rette linjer
Titel 16	Sandsynlighedsregning og kombinatorik
Titel 17	Repetition
Titel 18	Sandsynlighedsregning og statistik
Titel 19	Differentialregning 3
Titel 20	Integralregning
Titel 21	Differentialligninger
Titel 22	Cirkler
Titel 23	Funktioner af to variable 2
Titel 24	Vektorfunktioner
Titel 25	Normalfordelingen
Titel 26	Mere om lineær regression
Titel 27	Forberedelsesmarterialet
Titel 28	Repetition

Beskrivelse af de enkelte undervisningsforløb (1 skema for hvert forløb)

Titel 1	Procentregning Indhold • At lægge procent til / trække procent fra en begyndelsesværdi • Begreberne vækstrate og fremskrivningsfaktor • Formlerne S=B(1+r), B=S/(1+r) og r=S/B-1 • Formlen K1=K0(1+r) og videre til renteformlen Kn=K0(1+r)^n • Forskel på eksempelvis helårlig og halvårlig rentetilskrivning • Gennemsnitlig rente • Indekstal • Annuiteter Grundlæggende regnefærdigheder Omskrivning procent/brøk/decimal
Indhold	Kernestof: Procent, fremskrivningsfaktor og vækstrate.docx
Omfang	Estimeret: 5,00 moduler Dækker over: 5 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 2	Eksponentielle sammenhænge 1 Indhold • Fremskrivningsfaktor a og vækstrate r. • Forskrift for en eksponentialfunktion, herunder a og b's betydning for grafens udseende + bevis • Eksponentiel regression samt beregning af x og y i Maple. • Eksponentielle modeller, herunder opstilling af model ud fra givne oplysninger samt fortolkning af a og b i en given model. • Bestemmelse af a og b ud fra to punkter + bevis. • Eksponentiel vækst. • Eksponentiel notation. • Fordoblings- og halveringskonstant, definition samt formlerne for T2 + T1/2. ln/log er foreløbig blot en knap på lommeregneren… Grundlæggende regnefærdigheder: • Potensregneregler. Brøkregneregler.
Indhold	Kernestof: Afsnit Eksponentiel regression.pdf https://plusstxa1.systime.dk/?id=1283#c10905
Omfang	Estimeret: 9,00 moduler Dækker over: 9 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 3	Andengradsligninger Indhold • Repetition af løsning af 1.gradsligninger • Løsning af 2.gradsligninger • Arbejde med løsning af ligninger i maple (brug af "solve") • Diskriminantformlen • Arbejde med beviset for diskriminantformlen Grundlæggende regnefærdigheder: • Parenteser. • Kvadratsætninger • Reduktion.
Indhold	Kernestof: Afsnit 2.4.1 Andengradsligningen Hjælpenote 1.g.docx
Omfang	Estimeret: 5,00 moduler Dækker over: 6 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 4	Trigonometri Indhold • Navngivning af sider og vinkler i trekanter • Højde, median, vinkelhalveringslinje • Ligebenet, ligesidet, retvinklet, spidsvinklet, stumpvinklet trekant • Vinkelsum og areal af trekant • Pythagoras’ Læresætning • Ensvinklede trekanter • Definition af sinus og cosinus ud fra enhedscirklen • Definition af tangens • sin, cos og tan i retvinklede trekanter + bevis (uden brug af vektorer) • De omvendte til sinus, cosinus og tangens • Regning af sider og vinkler i vilkårlige trekanter Grundlæggende regnefærdigheder
Indhold	Kernestof: Retvinklede trekanter (Matematik C, Trigonometri) – Webmatematik Opgaver, sin, cos og tan, retvinklet trekant.docx Flere opgaver med sin, cos og tan i retvinklet trekant.docx Opgave, aflæsning af sinus og cosinus.docx Opgaver vilkårlige trekanter.docx Udregning af sider og vinkler i vilkårlige trekanter.docx Udregning af sider og vinkler i retvinklede trekanter.docx Trigonometri - Bevis: cos, sin & tan for retvinklede trekanter
Omfang	Estimeret: 6,00 moduler Dækker over: 6 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 5	Vektorer Vektorer • Grundlæggende vektorberegning ○ Hvad er en vektor ○ Vektorers koordinater ○ Nulvektoren og egentlige vektorer ○ En vektors længde ○ Tværvektoren ○ Enhedsvektoren ○ Stedvektoren ○ Forbindelsesvektor og afstandsformlen • Regning med vektorer ○ Sumvektor ○ Differensvektor ○ Gange en faktor på en vektor • Vektorberegning i maple • Skalarprodukt og ortogonale vektorer (bevis for ortogonale vektorer) • Determinant og parallelle vektorer • Areal af parallelogram og trekant udspændt af to vektorer • Vinkel mellem to vektorer og herunder den geometriske betydning af skalarproduktet Projektion af en vektor på en anden
Indhold	Kernestof: Vektorrace Vektorer (Matematik B, Vektorer i 2D) – Webmatematik 9.6 Opgaver til Vektorer og geometri Bilag vektorer.pdf Regning med vektorer (Matematik B, Vektorer i 2D) – Webmatematik Intro vektorer.pdf 6.4.3 En vektors længde og afstandsformlen Vektorregning i maple.mw Afsnit 6.6 Skalarprodukt Skalarprodukt (Matematik B, Vektorer i 2D) – Webmatematik 6.7 Determinant 6.6.1 Vektorprojektion og vinkel Vinkel mellem vektorer (Matematik B, Vektorer i 2D) – Webmatematik Projektion af vektor på vektor (Matematik B, Vektorer i 2D) – Webmatematik Skalarprodukt og ortogonalitet Vektorregning 12 - Areal udspændt af vektorer
Omfang	Estimeret: 11,00 moduler Dækker over: 10 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 6	Eksponentielle sammenhænge 2 Indhold • Logaritmeregneregler • 10-talslogaritmen og den naturlige logaritme • Løsning af ligninger med eksponentielle funktioner. • Fordoblings- og halveringskonstant, definition samt formlerne for T2 + T1/2. (bevis) Grundlæggende regnefærdigheder: • Potensregneregler. • Brøkregneregler.
Indhold	Kernestof: Repetitionsopgaver i eksponentielle sammenhænge.pdf 3.2 Ligninger med eksponentielle funktioner 3.3 Fordoblingskonstant, halveringskonstant og vækstegenskab
Omfang	Estimeret: 4,00 moduler Dækker over: 3 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 7	Potensfunktioner Indhold • Forskrift for en potensfunktion, herunder a og b's betydning for grafens udseende samt potensvækst (bevis for betydningen af b og potensvækst) • Omvendt proportionalitet • 2-punktsformlen for potensfunktioner • Potensregression i Maple. • Løsning af ligninger af n'te grad. For n ulige og n lige. Grundlæggende regnefærdigheder: Potensregneregler.
Indhold	Kernestof: Potensfunktioner - Bevis: Betydningen af b og vækst 3.3 Fordoblingskonstant, halveringskonstant og vækstegens 4.5 Hvad har vi lært om de tre funktionstyper? 4.1 Regneforskrift og graf for en potensfunktion 4.3 Omvendt proportionalitet Note over emner i 1.g.docx 2.4.2 Ligninger af n"te grad
Omfang	Estimeret: 5,00 moduler Dækker over: 6 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 8

Polynomier

Vi arbejder med:
• Sammenhængen mellem parablens udseende og forskriften for andengradspolynomiet.
• Parablens rødder, symmetriakse og toppunkt
• Faktorisering af andengradspolynomiet
• Parallelforskydning af grafer
• Polynomiel regression
• Polynomier generelt

Efter forløbet skal eleverne kunne:
• Bestemme parablens udseende ud fra koefficienterne a, b og c, samt diskriminanten d.
• Finde toppunktet for en parabel, samt bruge dette i optimeringsopgaver.
• Bevise toppunktsformlen, herunder også bevise hvor parablens symmetriakse er.
• Faktorisere et andengradspolynomium, dvs. omskrive f(x) = ax^2 +bx+c til f(x) = a(x-r1)(x-r2)
• Opskrive forskriften for et andengradspolynomium givet rødderne og koefficienten a.
• Angive forskriften for en funktion g(x), der er en lodret og/eller vandret parallelforskydning af en given funktion f(x).
• Lave polynomiel regression i Maple
• Identificere polynomier af større grad end 2 og argumentere for antallet af rødder i disse polynomier.

Materiale:
Systime plus A1 stx, kapitel 5.1-5.6

Indhold

Kernestof:

Skriftligt arbejde:

Titel	Afleveringsdato
Mat 1	23-08-2023

Omfang

Estimeret: 9,00 moduler
Dækker over: 9

Særlige fokuspunkter

Væsentligste arbejdsformer

Titel 9	Differentialregning 1 Vi arbejder med: • Begreberne grænseværdi og kontinuitet. • Begreberne sekant, tangent, differenskvotient og differentialkvotient, som grænseværdi for differenskvotient. • Udledning af differentialkvotienten for udvalgte funktioner vha. tretrinsreglen. • Regneregler for differentiation, herunder konstantfaktor-, sum- differens-, produkt- og kædereglen. • Beviserne for konstantfaktor-, sum- differens-, produkt-reglen. • Notationen f’(x) herunder sammenhængen mellem f(x0) og f’(x0). Efter forløbet skal eleverne kunne: • Redegøre for differentialkvotienten som grænseværdi for differenskvotienten. • Udlede differentialkvotienten for bl.a. den lineære funktion, andengradspolynomiet og kvadratrodsfunktionen vha. tretrinsreglen. • Bevise og bruge regnereglerne for differentiation. • Forstå notationen f’(x0), som tangenthældningen i punktet (x0,f(x0)) Materiale: Systime plus A2 stx, kapitel 3.0-3.5
Indhold	Kernestof: Færdiggør øvelse 5.8.1 (kryds og tværs) Medbring formelsamling til testen I kan nu aktivere de bøger vi skal bruge både i 2.g og 3.g Læs op på begreberne grænseværdi og kontinuitet hvis du endnu ikke er helt trygge ved dem. Forberedelse af bevis Løs øvelse 3.3.3 i A2-bogen. Læs og forstå beviset for sætning 4 (produktreglen) i afsnit 3.4 i A2-bogen. Frividen.dk Færdiggør øvelse 3.4.8 Som forberedelse til testen kan I løse øvelse 6-10 i OneNote: Differentialkvotient
Omfang	Estimeret: 13,00 moduler Dækker over: 13 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 10	Logaritmer Vi arbejder med: - Definitionen af 10-talslogaritmen log(x) og den naturlige logaritme ln(x). - Grafen for log(x) og ln(x). - Logaritmeregnereglerne og beviserne herfor. - Transformationen fra eksponentialfunktion eller potensfunktion til lineær funktion og beviserne herfor. - Generelt arbejde med omvendte funktioner, herunder graf og forskrift. Materiale: Systime plus A2 stx: kapitel 1
Indhold	Kernestof: Sørg for at du har styr på de øvelser vi lavede i timen: Øvelse 1.1.1-1.13 + 1.1.5 Medbring formelsamling og høretelefoner Dagens arbejde 1nov23.pdf Sørg for at det I gennemgik alene onsdag er frisk i hukommelsen. Vi vælger nogle som skal gennemgå de tre beviser og så ser vi om der nogle spørgsmål til opgaverne. Smagsprøve Georg Mohr.docx Dagens opgaver 10nov.docx Sørg for I har styr på opgaverne fra sidste gang: Dagens opgaver 10nov.docx
Omfang	Estimeret: 8,00 moduler Dækker over: 8 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 11	Trigonometriske funktioner Vi arbejder med: - Definitionen af radiantal, herunder repetition af enhedscirklen. - Omskrivning fra grader til radianer og omvendt. - Funktionerne sin⁡(x) og tan⁡(x), herunder graf, periodicitet samt definitions- og værdimængde. - Løsning af de trigonometriske grundligninger sin⁡(x)=a og cos⁡(x)=a - Definitionen af den harmoniske svingning: f(x)=A∙sin⁡(bx+c)+d - Grafen for en harmonisk svingning, herunder amplituden A, konstanten b, udgangsniveauet d, fasekonstanten c og faseforskydningen -c/b. - Begrebet periode (eller svingningstid), herunder sammenhængen mellem konstanten b og perioden T - Ekstrema, samt definitions- og værdimængde for en harmonisk svingning. Efter forløbet skal eleverne kunne: - De karakteristiske egenskaber ved trigonometriske funktioner og deres grafiske forløb - Håndtere radianbegrebet og sammenhængen med enhedscirklen. - Håndtere begreberne amplitude, periode og faseforskydning knyttet til en harmonisk svingning samt kende disse begrebers betydning for funktionens forskrift og for grafens beliggenhed. Materiale: Systime plus A2 stx, kapitel 2.
Indhold	Kernestof: To lektier: Der er forskellig lektie alt efter om man var til timen mandag eller ej Sæt jer gerne i disse grupper fra start af Lav øvelse 6 og 7 i dokumentet i OneNote: Øvelser: Intro til trigonometriske funktioner (Webvisning) - Husk at der er uendeligt mange løsninger til opgaverne i øvelse 6. I øvelse 7 er der kun 1-2 løsninger. Husk mat 7 skal afleveres i starten af timen Sæt jer i de grupper som I arbejdede i sidst Grafen i opgave 6 har forskriften (formel) Færdiggør opgave 1 + 2 i opgaverne om harmonisk svingning
Omfang	Estimeret: 7,00 moduler Dækker over: 8 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 12	Differentialregning 2 Vi arbejder med: • Differentialkvotient for den naturlige eksponentialfunktion, den naturlige logaritme funktion, samt de trigonometriske funktioner. • Tangentens ligning Materiale: Systime plus A2 stx, kapitel 3.6+3.7
Indhold	Kernestof: Færdiggør øvelse 3.7.1-3.7.3 Færdiggør 3.7.5
Omfang	Estimeret: Ikke angivet Dækker over: 7 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 13	Funktioner af to variable Vi arbejder med: • Definition af en funktion af to variable. • Det tredimensionale koordinatsystem, herunder xy-, xz- og yz-planen. • Grafen for en funktion af to variable. • Snitfunktioner, herunder snitkurver. • Partielle afledede funktioner. • Stationære punkter og ekstrema. Efter forløbet skal eleverne kunne: • Bestemme funktionsværdien f(x0,y0). • Bestemme x eller y givet de to andre værdier, fx løs ligningen f(x,2)=3, og forklare den grafiske betydning. • Tegne grafen for f(x,y) i Maple • Bestemme forskriften for snitfunktionen i x- eller y-retningen, når y eller x fastholdes på en bestemt værdi. • Tegne snitkurver i Maple • Bestemme de partielle afledede for en funktion f(x,y). • Bestemme de partielle afledede for en funktion f(x,y) i et givent punkt og forklare den geometriske betydning. • Bestemme stationære punkter for f(x,y) og afgøre om det er er minimum eller maksimum ved at betragte grafen for f. Materiale: Systime plus A3 stx, kapitel 4 (arten af det stationære punkt, samt niveaukurver gemmes til 3g)
Indhold	Kernestof: Lav øvelse 4.1.3 i A3-bogen - Husk det er i A3-bogen. Færdiggør øvelse 4.2.1 - 4.2.5 som beskrevet i OneNote Færdiggør 4.3.2 - Husk at (forsøge at) forklare hvad resultaterne betyder geometrisk
Omfang	Estimeret: Ikke angivet Dækker over: 6 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 14	SRO optakt Vi arbejder med redegørelsen for mindste kvadraters metode ved brug af vores viden om funktioner af to variable. Materiale: Arbejdskompendium, udarbejdet af Lotte Sejer Nørtoft og Simone Gravlund Nielsen.
Indhold	Kernestof: Lektien til i dag er at finde noter frem helt tilbage fra grundforløbet. Vi skal se på lineær regression, og hertil er det smart hvis I har genopfrisket det I ved om RESIDUALER. Lektien til i dag er at læse og forstå hvordan man bestemmer stationære punkter vba. Maple. Udklippet herunder kan I finde i jeres OneNote i fanen "Stationære punkter". Vi fortsætter med forberedelse til SRO To lektier til dagens moduler:
Omfang	Estimeret: Ikke angivet Dækker over: 6 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 15	Rette linjer Vi arbejder med: - Definitionen af normalvektor og retningsvektor. - Parameterfremstillingen for en linje i planen. - Linjens ligning på formen a(x-x0)+b(y-y0)=0 eller ax+by+c=0. - Vinklen mellem to rette linjer, herunder ortogonale linjer. - Afstanden mellem et punkt og den rette linje. - Skæringspunktet mellem to rette linjer Efter forløbet skal eleverne kunne: - Opstille både parameterfremstilling og ligning for en ret linje, samt afgøre om et givet punkt ligger på linjen. - Omskrive mellem parameterfremstilling og linjens ligning. - Bestemme vinklen mellem to rette linjer ved brug af enten linjernes normalvektorer eller retningsvektorer. - Bestemme afstanden mellem et punkt og den rette linje. - Bestemme skæringspunktet mellem to rette linjer ved at løse to ligninger med to ubekendte. Materiale: Systime plus A1 stx, kapitel 3.9
Indhold	Kernestof: Mini-survey - Fællesskabsmodul (office.com) Find jeres noter om vektorregning frem fra 1.g - Skim dem og medbring dem til timen. Sørg for at du kan svare på spørgsmålene i den interaktive øvelse i A1-bogen kapitel 6.9.1. Lav øvelse 6.9.8 i A1-bogen Færdiggør øvelse 6.9.9+6.9.10+6.9.12 i afsnit 6.9.2 i A1 bogen Se på det interaktive "Bevis 1: Afstand fra punkt til linje" i A1-bogen: https://plusstxa1.systime.dk/?id=1308 Færdiggør nedenstående øvelse
Omfang	Estimeret: Ikke angivet Dækker over: 7 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 16	Sandsynlighedsregning og kombinatorik Vi arbejder med: - Kombinatorik, herunder: Additionsprincippet, multiplikationsprincippet, fakultet, permutationer og kombinationer - Sandsynlighedsregning, herunder: Udfald, hændelse, sandsynlighedsfelt, grundlæggende udfald og addition og multiplikation af sandsynligheder - Binomialfordelingen, middelværdi og spredning, samt anvendelse af fordelingen. Efter forløbet skal eleverne kunne: - Skelne mellem additionsprincippet og multiplikationsprincippet - Skelne mellem permutationer og kombinationer. - De basale begreber indenfor sandsynlighedsregning - Beregne enkelte sandsynligheder og sammensatte sandsynligheder. - Opstille en binomialmodel og beregne sandsynlighedsfordelingen for den stokastiske variabel X. - Bestemme middelværdi og spredning for en binomialfordelt stokastisk variabel. Materiale: Systime plus A2 stx, kapitel 4.1-4.5
Indhold	Kernestof: Husk formelsamling Løs opgaven herunder Færdiggør t.o.m. opgave 4 i arket I fik udleveret sidst. Løs nedenstående opgave: Lav en side i OneNote (eller hvor du har din matematiknoter) du kalder begreber i sandsynlighedsregning. Brug 5-10 min på at forklare følgende fire begreber til dig selv: Løs nedenstående opgave
Omfang	Estimeret: Ikke angivet Dækker over: 8 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 17	Repetition
Indhold	Kernestof: 1) Svar i elevfeedback hvad I gerne vil have repeteret. Medbring alt hvad I har af noter fra 1.g og 2.g. Også gerne jeres formelsamling Der kan komme spørgsmål i følgende dele af pensum:
Omfang	Estimeret: Ikke angivet Dækker over: 4 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 18	Sandsynlighedsregning og statistik Vi arbejder med: - Binomialtest, herunder begreberne: Population, stikprøve, teststørrelse, nulhypotese, alternativ hypotese, dobbeltsidet eller enkeltsidet test, signifikansniveau, kritisk mængde og acceptmænge. - 95 %- konfidensinterval for andel, herunder beregning vha. formlen fra formelsamlingen og fortolkning af intervallet. Efter forløbet skal eleverne kunne: - Opstille en nulhypotese forud for en hypotesetest - Udføre både en dobbeltsidet og enkeltsidet binomialtest, samt konkludere på testens resultat - Bestemme 95 %-konfidensintervaller for sandsynlighedsparameteren p, ud fra stikprøvens størrelse og et stikprøveestimat. Materiale: Systime plus A2 stx, kapitel 4.5
Indhold	Kernestof: Frem til efterårsferien sidder I i disse grupper: Sørg for at Maple 24 er installeret. Guide findes her: https://guide.rungsted-gym.dk/maple/ Husk jeres pladser og mobiltelefonerne i hotellet Dagens lektie bliver en lille læselektie. Læs Eksempel 4 i afsnit 4.5.1 i A2-bogen: https://plusstxa2.systime.dk/?id=2776#c26995 Husk at sætte jer i makkeskabsgrupperne Grupperarbejde_binomialtest.docx Løs opg. 4.5.7-4.5.9 i A2-bogen Binomialtest_øvelserfraA2.mw
Omfang	Estimeret: Ikke angivet Dækker over: 5 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 19	Differentialregning 3 Vi arbejder med: - Forholdet mellem en funktion og den afledede - Monotoniforhold, herunder monotonisætningen, monotonlinje, og monotoniforholdsundersøgelse. - Udledning af differentialkvotienten for e^kx, a^x og x^a vha. kædereglen. - Udledning af differentialkvotienten for cos(x) vha. enhedscirklen, ensvinklede trekanter og kædereglen. Materiale: Systime plus A2 stx, kapitel 3.5,3.6,3.8 MAT A2 stx, kapitel 6.7 (bevis for differentialkvotienten for cos(x) (kopi findes i OneNote))
Indhold	Kernestof: Som genopfriskning på differentialregning skal I løse to opgaver: Lav øvelserne 3.8.7+3.8.9 + 3.8.11 - Vi trækker lod om hvem der skal til tavlen og fremlægge dem. Lav opgave a) i nedenstående dokument. Dokumentet ligger også i OneNote under differentialregning 3. Læs afsnit 3.9 i A2, til og med eksempel 2. Forbered jer på at kunne fremlægge det bevis I arbejdede med sidst.
Omfang	Estimeret: Ikke angivet Dækker over: 5 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 20	Integralregning Vi arbejder med: - Regneoperationen integration, som det modsatte af differentiation. - Begreberne stamfunktion, ubestemt og bestemt integral. - Sammenhængen mellem det bestemte integral og areal under grafen. - Anvendelse af integralregning til at bestemme kurvelængder og rumfang af omdrejningslegemer Efter forløbet skal eleverne kunne: - Definere F(x) som en stamfunktion til f(x). - Forklare at funktionen f(x) har uendeligt mange stamfunktioner, man at disse stamfunktioner kun varierer med en konstant k. - Bestemme stamfunktioner for de elementære funktioner. - Bestemme stamfunktionen, hvis graf går gennem et bestemt punkt. - Regnereglerne for integration af sum og differens af funktioner, samt af en funktion gange en konstant. Både for ubestemte og bestemte integraler. - Bruge integration ved substitution når funktionen består af en sammensat funktion. Både for ubestemte og bestemte integraler. - Bestemme arealet under grafen for en kontinuet, ikke-negativ graf i intervallet [a,b]. - Bestemme arealet mellem to kontinuerte grafer i intervallet [a,b] - Forstå at for negative funktioner er det bestemte integral et negativt tal, hvorimod arealet mellem grafen og x-aksen er positivt. - Anvende det bestemte integral til at bestemme kurvelængder - Anvende det bestemte integral til at bestemme rumfang af omdrejningslegemer - Bevise nogle af regnereglerne for bestemte integraler. - Bevise integralregningens hovedsætning, del 1. - Bevise formlen for rumfanget af en kegle ved brug af integralregning Materiale: Systime plus A3 stx, kapitel 1
Indhold	Kernestof: Se video-bevis for differentiation af cosinus: https://www.youtube.com/watch?v=IWpf-U02-48 Løs øvelse 1.1.1-1.1.3 i A3-bogen: https://plusstxa3.systime.dk/?id=2714 Sæt jer I jeres nye makkerskabsgrupper Lav nedenstående øvelse Færdiggør øvelse 1.2.5 i afsnit 1.2.1 Færdiggør øvelse 1.2.8-1.2.10 i afsnit 1.2.1: Færdiggør øvelse 1.2.11-1.2.13 i afsnit 1.2.3 i A3 bogen: https://plusstxa3.systime.dk/?id=2720#c25758 Færdiggør øvelserne fra forrige time: Løs nedenstående opgaver. Se A3 afsnit 1.3 for hjælp .
Omfang	Estimeret: Ikke angivet Dækker over: 14 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 21	Differentialligninger Vi arbejder med: - Definitionen af en differentialligning - Den partikulære og fuldstændige løsning til en differentialligning. - Bestemmelse af tangentligninger - Linjeelementer og løsningskurver - Vækstmodellen y’=ky (eksponentiel vækst) - Vækstmodellen y’=b-ay (forskudt eksponentiel vækst) - Vækstmodellen y’=y(b-ay) (logisitisk vækst) - Verhulsts beskrivelse af befolkningsvækst, som en historisk introduktion til logistisk vækst (se nedenfor) Efter forløbet skal eleverne kunne: - Forklare hvad en differentialligning er - Forklare forskellen på en fuldstændig og en partikulær løsning. - Undersøge om en given funktion er løsning til en differentialligning ved at gøre prøve. - Bestemme tangentligningen til en løsningskurve gennem et punkt, når punkt og differentialligning er givet. - Bestemme linjeelementet (x0,y0,y0’) - Tegne hældningsfeltet til en given differentialligning i CAS og forklare hvordan hældningsfeltet kan bruges til at sige noget om løsningskurvernes forløb - Opstille en simpel differentialligning ud fra en sproglig beskrivelse - Redegøre for de tre vækstmodeller: Eksponentiel, forskudt eksponentiel og logistisk vækst, herunder skal de kunne. o Beskrive grafen for y’ som funktion af , samt grafen for y som funktion af x. o Bestemme den fuldstændige samt partikulære løsninger til differentialligningerne, både med og uden CAS o Udlede den fuldstændig løsning til differentialligningerne y’=ky og y’=b-ay Materiale: Systime plus A3 stx, kapitel 2.0-2.4 Verhulsts beskrivelse af befolkningsvækst: Som introduktion til logistisk vækst arbejder vi med Verhulsts beskrivelse af befolkningsvækst med udgangspunkt i hans artikel ”Notice sur la loi que la population suit dans son accroissement” (1838) – oversat til dansk. Indledningsvis ser vi videoen ”Hvorledes Verhulst fik beskrevet logistisk vækst” (med enkelte overspringelser), der sætter artiklen ind i en historisk kontekst. Herefter arbejdes i grupper med selve artiklen og de tilhørende arbejdsspørgsmål. Vi arbejder med: • Eksponentiel vækst og fordoblingstid • Analyse af Verhulsts behandling af data fra USA’s befolkningstal • Relativ væksthastighed og logistisk vækst • Verhulsts differentialligning dp/dt=mp-np^2 + sammenligning med nutidig ligning Materiale: Video: https://lru.praxis.dk/Lru/microsites/10danskematematikere/henrik_kragh_soerensen.html Kilden (artiklen): http://www.henrikkragh.dk/logistisk-vaekst/Verhulst1838-print.pdf Arbejdsspørgsmålene findes I OneNote og er udarbejdet af Simone Gravlund med udgangspunkt i materiale på: https://matematikhistorie.wordpress.com/2014/02/17/logistisk-vaekst-fortaellende-og-autentisk-matematikhistorie-i-gymnasiet/
Indhold	Kernestof: I vil blive testet i om I kan: Færdiggør opgave 5 og 6 i OneNote under differentialligninger. Vi samler op på det I lavede alene sidst - Både tangentligninger og linjeelementer, så se det igennem og noter hvis I har nogle spørgsmål. Løs nedenstående opgave Se beviset vi gennemgik sidst: Differentialligninger - Eksponentiel vækst bevis Brug Maple og løsningingen til Newtons afkølingslov Hvis du ønsker en karaktersamtale, så skriv det i elevfeedbacken på forrige modul. Lav 4. og 5. stop i arbejdsarket om Verhulst. Arket ligger også i OneNote. Se video 8 (frem til tiden 9.10) i følgende link: https://www.frividen.dk/matematik/differentialligninger/
Omfang	Estimeret: Ikke angivet Dækker over: 16 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 22	Cirkler Vi arbejder med: • Cirklens ligning • Skæring mellem cirkler og linjer • Tangent til en cirkel Efter forløbet skal eleverne kunne: • Udlede cirklens ligning ved brug af afstandsformlen. • Opstille cirklens ligning ud fra centrum og radius. • Bestemme centrum og radius i cirkel ud fra cirklens ligning, herunder omskrive cirklens ligning ved brug af kvadratkomplettering. • Bestemme eventuelle skæringspunkter mellem en cirkel og en ret linje, herunder afgøre om en ret linje er en tangent til cirklen. • Bestemme ligningen til en cirkels tangent. Materiale: Systime Plus A1, kapitel 6.10
Indhold	Kernestof: Lav øv. 252,254 og 255 i OneNote under "Opstilling af differentialligninger". Dagens lektie er at genopfriske hvad en normalvektor er, linjens ligning, samt hvordan man finder afstanden mellem et punkt og en linje (se afsnit 6.9, 6.9.2 og 6.9.4 i A1 bogen). Løs nedenstående opgave - Hjælp kan hentes i OneNote under "Tangent til cirkel". Færdiggør øvelse 6.10.13-6.10.16 i A1 - Vi vælger nogle der løser dem på tavlen.
Omfang	Estimeret: Ikke angivet Dækker over: 4 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 23	Funktioner af to variable 2 Vi arbejder med: • Genopfriskning fra 2g: snitfunktioner og snitkurver, partielle afledede samt stationære punkter. • Niveaukurver og konturplot. • Gradienten og dens størrelse, herunder gradientens geometriske betydning. • Arten af et stationært punkt, herunder dobbelte og blandede afledede. Efter forløbet skal eleverne kunne: • Tegne niveaukurver, samt afgøre når en niveaukurve er cirkel. • Bestemme gradienten for f og give en fortolkning af denne. • Bestemme de stationære punkter, samt arten af disse, både med og uden CAS. Materiale: Systime Plus A3, kapitel 4.2-4.4 (Enkelte dele er gennemgået i 2.g)
Indhold	Kernestof: Som genopfriskning af funktioner af to variable skal I løse denne opgave. I kan finde hjælp i OneNote, 2g, Funktioner af to variable, under fanen Snitfunktioner. Løs 4b i nedenstående eksamensopgave (fra del 2 med hjælpemidler). Dagens arbejde er beskrevet i dette dokument, som også findes i OneNote: Arbejdselv3m_23jan25.pdf Arbejdselv_3m_29jan.docx
Omfang	Estimeret: Ikke angivet Dækker over: 5 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 24	Vektorfunktioner Vi arbejder med: - Definition af vektorfunktion. Herunder koordinatfunktioner og banekurve. - Linjens parameterfremstilling som vektorfunktion - Skæring med akserne og dobbeltpunkter - Differentiation af vektorfunktioner, herunder hastigheds- og accelerationsvektor, samt fart. - Tangent til banekurve, herunder tangentens ligning, vandrette og lodrette tangenter samt vinkel mellem tangenter. - Cirklens parameterfremstilling og beviset herfor. - Beviset for at enhedscirklens hastighedsvektor og accelerationsvektor er ortogonale for alle t. Materiale: Systime plus A3 stx, kapitel 3 (kapitlet indeholder ikke beviserne, disse er i jeres noter eller OneNote)
Indhold	Kernestof: Genopfrisk det arbejde I lavede 23. jan. Opgave 4 skal kunne fremlægges ved tavlen, og I skal have styr på hvordan man bestemmer de dobbelte og blandede afledede. Færdiggør øvelse 4.4.3 og lav eksamensopgaven herunder Dagens arbejde ligger både her og i OneNote. Dagens lektie er opsamling fra både tirsdagens og torsdagens arbejde. Læs afsnittet "Cirkelbevægelse" i OneNote. Her er to små beviser, som vi arbejder med i dagens time.
Omfang	Estimeret: Ikke angivet Dækker over: 9 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 25	Normalfordelingen Vi arbejder med: • Definition af en normalfordelt stokastisk variabel med middelværdi my og spredning sigma. • Normalfordelingens tæthedsfunktionen f(x) og fordelingsfunktion F(x), herunder forskrift og graf. • Beregning af sandsynligheder i normalfordelingen vha. bestemte integraler og vha. kommandoen normalcdf i Maple. • Normale og exceptionelle udfald. • Definition af en standardnormalfordelt stokastisk variabel, herunder sammenhæng mellem phi(x) og f(x). • Undersøgelse af hvorvidt en observeret størrelse X er normalfordelt vha. QQ-plot/fraktilplot • Normalfordelingen som approksimation til binomialfordelingen • Diskret stokastisk variabel vs. kontinuert stokastisk variabel. • Punktsandsynlighed vs. intervalsandsynlighed. Materiale: Systime plus A2 stx, kapitel 4.6 Systime Lærebog i matematik A2, kapitel 8
Indhold	Kernestof: Færdiggør arket "indledende arbejde med normalfordelingen". Husk sidste opgave kræver en håndtegnet skitse. Jeg håber på at se 32 af disse. Medbring formelsamling. image.png Inden dagens arbejde skal I have besvaret alle spørgsmålene i "Repetition af binomialfordelingen" - Arket ligger i OneNote under normalfordelingen, og alle svar kan findes i OneNote, 2g, binomialfordelingen. Dagens arbejde findes i vedhæftede fil. Det er en del læsestof og 4 opgaver der skal løses. De fire opgaver besvares i Maple og uploades på Lectio - Herfra fører jeg fravær.
Omfang	Estimeret: Ikke angivet Dækker over: 6 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 26	Mere om lineær regression Vi arbejder med: - Vurdering af lineær modul, herunder punktplot, forklaringsgrad, residualer og residualplot - Undersøgelse af om residualerne er tilnærmelsesvis normalfordelte ved brug af QQ-plot over residualerne. - Konfidensinterval for hældning, med særligt fokus på når hældningen er tæt på 0. ¨ Materiale: Systime plus A2 stx, kapitel 4.7 (minus residualspredning)
Indhold	Kernestof: To lektier:
Omfang	Estimeret: Ikke angivet Dækker over: 2 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 27	Forberedelsesmarterialet
Indhold	Kernestof: Vi fortsætter med forberedelsesmaterialet. Husk at få læst det I har aftalt indbyrdes (De som var fraværende sidst, må arbejde lidt hurtigere i dag - Vi finder nogle grupper til jer timen). Vi fortsætter med forberedelsesmaterialet. Husk at få læst det I har aftalt indbyrdes. Vi fortsætter med forberedelsesmaterialet. Læs det I indbyrdes har aftalt. Jeg vil anbefale I laver t.o.m. opg. 10 s. 13. Facit hertil ligger i OneNote. Makkerpar og tidsplan for mundtligt oplæg.docx I dag arbejder vi med forberedelsesmaterialet i 45 min og det samme gør vi næste gang. Jeg anbefaler I laver t.o.m opg.14 s.17. Facit hertil ligger i OneNote. Der er to lektier til i dag:
Omfang	Estimeret: Ikke angivet Dækker over: 5 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 28	Repetition
Indhold	Kernestof: Medbring gerne alle jeres noter om integralregning og logistisk vækst Rigtig mange af jer har problemer med 3 prikker i jeres vektorer når I skal gemme som PDF. Dagens lektie er at få fikset Maple, så Maple ikke laver de tre prikker. (Man kan se i PDF-versionen af Mat 12, opg. 6a om man har problemet)
Omfang	Estimeret: Ikke angivet Dækker over: 3 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Vis samlet undervisningsbeskrivelse samt elevtilknytning til forløb