Holdet 2a Ma (2025/26) - Undervisningsbeskrivelse

menu

Undervisningsbeskrivelse

Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser
Termin(er) 2024/25 - 2025/26
Institution Frederiksværk Gymnasium og HF
Fag og niveau Matematik B
Lærer(e) Sara Lehné
Hold 2024 Ma/a (G1 Ma, 1a Ma, 2a Ma)

Oversigt over gennemførte undervisningsforløb
Titel 1 Lineære funktioner
Titel 2 Trigonometri, STX-B
Titel 3 Miniforløb om brøker, STX
Titel 4 Eksponentielle funktioner STX B
Titel 5 Finansielregning og bevisførelse STX B
Titel 6 Potensfunktioner, STX B
Titel 7 Eulers tal og dets historie
Titel 8 Polynomier
Titel 9 Deskriptiv statistik
Titel 10 Statistisk test
Titel 11 Sandsynlighed og kombinatorik
Titel 12 Analytisk plangeometri
Titel 13 Differentialregning

Beskrivelse af de enkelte undervisningsforløb (1 skema for hvert forløb)
Titel 1 Lineære funktioner

Forløbet har introduceret eleverne til lineære funktioner som model for simple, lineære sammenhænge. Forløbet har haft særligt fokus på forståelsen af funktionsbegrebet samt sammenhængen mellem algebraiske, grafiske og sproglige repræsentationer og har fungeret som en central del af grundforløbet.

Centrale læringsmål
Eleverne har opnået forståelse for:
Lineære funktioner og deres grafiske forløb
Linjens ligning på formen y=ax+by = ax + by=ax+b
Betydningen af konstanterne aaa (hældningskoefficient) og bbb (skæring med y-aksen)
Bestemmelse af hældningskoefficient ved hjælp af topunktsformlen
Skæring mellem grafer for to lineære funktioner
Anvendelse af lineære funktioner i simple modelleringssituationer

Undervisningsformer
Undervisningen har været tilrettelagt med en vekslen mellem klasseundervisning, opgavearbejde og arbejde med grafiske repræsentationer, herunder brug af digitale værktøjer. Der har været fokus på skift mellem forskellige repræsentationer af funktioner samt på sproglig og matematisk fortolkning af lineære modeller i kontekst.

Evaluering
Elevernes faglige udbytte er løbende evalueret gennem opgavebesvarelser, mundtlige præsentationer samt en afsluttende screening.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 20,00 moduler
Dækker over: 23 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 2 Trigonometri, STX-B

Forløbet starter med en repetition af grundlæggende trekantsgeometri, herunder betingelser for entydig trekantsbestemmelse.
Pythagoras’ sætning introduceres, og eleverne konstruerer retvinklede trekanter. Dette lægger grundlaget for den efterfølgende introduktion af de trigonometriske funktioner. Det kinesiske bevis for Pythagoras vises og eleverne arbejder indgående med beviset.

Enhedscirklen, Sinus, cosinus og tangens introduceres i retvinklede trekanter.
Konstruktion af vilkårlige trekanter inddrages og der arbejdes med de fem trekantstilfælde.

Vi arbejder med"blood spatter"-teori for at vise hvor trigonometri anvendes samt for at åbne delemnet "vilkårlige trekanter"
Som introduktion til cosinusrelationen arbejder eleverne undersøgelsesbaseret i grupper. Se afleveringen "gruppearbejde"

beviser for følgende sætninger er didaktiseret og bearbejdet af eleverne:

-Pythagoras (kinesisk bevis)
-Cos, Sin og Tan for de retvinklede trekanter (her bruges notationen "modstående katete", "hosliggende katete" og "hypotenuse" i stedet for "a",  "b" og "c").
-arealformlen for vilkårlige trekanter
-Sinusrelationen
-Cosinusrelationen

**Undervisningsmetoder:**

*   Induktiv undervisning med fokus på elevaktivering gennem konstruktion.
*   Nspire som værktøj til at regne med de trigonometriske funktioner.
*   Fokus på den matematiske bevisførelse.
*   Kort anvendelsesorienteret perspektivering.

**Evaluering:**

Eleverne laver en videoaflevering hvor beviset for Pythagoras vises. Der er ligeledes en skriftlig aflevering med regneopgaver samt en afsluttende prøve inden for emnet.
Indhold
Kernestof:

Skriftligt arbejde:
Titel Afleveringsdato
Gruppearbejde 11-12-2024
Trigonometri 19-12-2024
Prøve. blandet 06-01-2025
Prøve. trigonometri 06-01-2025
Omfang Estimeret: 15,00 moduler
Dækker over: 14 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 3 Miniforløb om brøker, STX

Indhold:

• Simpel brøkforståelse
• Brøkregneregler - hvordan skal de forstås (hvilke hverdagssituationer passer de til)

Materiale:
Kompendium, 1. kapitel.

Væsentligste arbejdsformer:
Klasseundervisning
Gruppearbejde
Skriftligt arbejde
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 6,00 moduler
Dækker over: 3 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 4 Eksponentielle funktioner STX B

Dette forløb på ca. 12 moduler introducerer eleverne til eksponentielle funktioner gennem en induktiv og undersøgende tilgang, der lægger vægt på praktiske anvendelser og gruppearbejde. Forløbet sigter mod at give eleverne en dyb forståelse for eksponentielle funktioners egenskaber og anvendelsesmuligheder, herunder særligt inden for privatøkonomi.

Forløbet indledes med at undersøge virkelighedsnære eksempler, hvor eksponentiel vækst eller aftagelse spiller en rolle, for at motivere behovet for at studere denne funktionstype. Gennem konkrete eksempler og grafiske repræsentationer i GeoGebra introduceres eleverne til den generelle form for eksponentielle funktioner (f(x) = b ⋅ a<sup>x</sup>) og betydningen af konstanterne *a* og *b*. Eleverne arbejder i grupper med at bestemme a og b ud fra grafer og tabeller, og undersøger hvad der sker med grafen når a > 1 og 0 < a< 1.

Et centralt element i forløbet er at forstå sammenhængen mellem forskriften og vækstraten, samt at kunne opstille forskrifter ud fra givne startværdier og vækstrater. Eleverne lærer at bruge Nspire til at finde rødder og bestemme funktionsværdier. Derudover introduceres begrebet inverse ("omvendte") funktioner, med fokus på sammenhængen mellem eksponentialfunktioner og logaritmer.

Eulers tal er ligeledes introduceret og eleverne har set at eksponentielle funktioner kan skrives på formen f(x)=b*e^(kx).

Fælgende sætninger er bevist:
-To-punkts-formlen for eksponentielle funktioner
-Fordoblings- og halverings-konstanten
-Fremskrivningsfaktor ud fra fordoblings- eller halverings-konstant.

Undervisningsmetoder:

Induktiv undervisning med fokus på elevaktivering.
Gruppearbejde og diskussioner.
Brug af Nspire til visualisering og beregninger.
Problembaseret læring med udgangspunkt i virkelighedsnære eksempler.

Evaluering:

Der indgår en afsluttende skriftlig opgave samt en, for nogle af eleverne, en præsentation af et eksempel på et eksamensspørgsmål inden for emnet.
Indhold
Kernestof:

Skriftligt arbejde:
Titel Afleveringsdato
Bevis 20-02-2025
Eksponentielle funktioner 09-03-2025
Omfang Estimeret: 12,00 moduler
Dækker over: 10 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 5 Finansielregning og bevisførelse STX B

Forløbet om eksponentielle funktioner lægger op til dette forløb om anvendelse inden for privatøkonomi. Her undersøges kapitalfremskrivning og annuitetslån/opsparinger. Eleverne arbejder induktivt med at udlede formler for kapitalfremskrivning, startkapital mm.  
Der arbejdes ligeledes med formlen for annuitetsopsparing, denne formel bevises og formlerne for hhv. ydelsen og antal terminer udledes fra denne formel.

Dette forløb har således fokus på forskellige opsparingsmodeller og rentebegrebet såvel som fokus på det matematiske bevis.

Forløbet afrundes med projektarbejde om boligkøb. Eleverne arbejder med en case hvor de skal forholde sig til finansieringsmuligheder ved ejerbolig og andelsboligkøb. Denne case giver mulighed for at arbejde på forskellige taksonomiske niveauer, nogle elever beregne de forskellige ydelser med brug af allerede kendte formler imens andre elever vil nå til at beskæftige sig med begreber som afdragsfrihed og opstille flere forskellige finansieringsmodeller samt sammenligne fordele og ulemper ved disse.
Som afrunding på casen afleverer eleverne en rapport som de forsvarer mundtligt.

Eleverne forventes at kunne:

Redergøre for forskellige rentebegreber, herunder årlig nominel rente, terminsrente og årlig effektiv rente.

Redegøre for typiske finansieringsmuligheder ved køb af ejer og andelsbolig i Danmark.

Redegøre for formlerne for fremtids- og nutidsværdi.

Udlede relevante formler for ydelse og terminer ud fra førnævnte formler.

Forklare forskellen på kapitalfremskrivning (renteformlen) og annuitetsopsparing.

Bevise formlen for nutidsværdi.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 7,00 moduler
Dækker over: 9 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 6 Potensfunktioner, STX B

I dette mini forløb arbejder vi med tilgangen "flipped learning", altså arbejder eleverne selvstændigt med det teoretiske stof, i dette forløb videoer, og opgaveregning laves i fællesskab og med mulighed for at stille spørgsmål.
Efter dette forløb forventes eleverne at kunne:

-Opskrive forskriften for en potensfunktion.
-Forklare koefficienternes betydning
-Redegøre for %-%-vækst (altså at en fast %-vis ændring i x værdien vil medføre en fast %-vis ændring i funktionsværdien)
-Forklare og bruge to-punkts-formlen for potensfunktioner.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 6,00 moduler
Dækker over: 3 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 7 Eulers tal og dets historie

I dette miniforløb har eleverne arbejdet selvstændigt og undersøgende med Euler’s tal og eksponentielle funktioner. Forløbet har haft fokus på selvstændig vidensindsamling, faglig fordybelse og formidling på matematik B-niveau.

Centrale læringsmål:
Eleverne har opnået forståelse for:
Hvad Euler’s tal er, samt den historiske baggrund for betegnelsen
Metoder til at estimere Euler’s tal
Hvorfor alle eksponentielle funktioner kan omskrives til formen b⋅ek⋅xb \cdot e^{k \cdot x}b⋅ek⋅x
Sammenhængen mellem konstanten kkk og om en eksponentiel funktion er voksende eller aftagende
Formidling af matematisk stof på et fagligt korrekt og målgruppeorienteret niveau

Undervisningsformer:
Forløbet har været tilrettelagt som et selvstændigt, undersøgelsesbaseret arbejde. Eleverne har anvendt eksterne kilder og AI-værktøjet Notebook LM til vidensindsamling og bearbejdning. Der har været fokus på både matematisk forståelse og tydelig formidling gennem et selvvalgt produktformat, fx video, podcast eller digital fil.

Evaluering: eleverne har afleveret det materiale de har udviklet og modtaget formativ samt summativ feedback
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 4,00 moduler
Dækker over: 3 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 8 Polynomier

Forløbet har haft fokus på polynomier med særligt henblik på andengradspolynomier og deres karakteristiske egenskaber. Eleverne har arbejdet med både algebraiske og grafiske repræsentationer af funktionerne samt deres anvendelse i simple modelleringssammenhænge.
Centrale læringsmål
Eleverne har opnået forståelse for:

Polynomiers grafiske forløb og karakteristiske egenskaber, herunder nulpunkter, toppunkt, vækstegenskaber og monotoniforhold
Betydningen af konstanterne i andengradspolynomier
Bestemmelse af rødder ved hjælp af nulpunktsformlen samt diskriminantens betydning
Faktorisering af andengradspolynomier
Skæring mellem grafer for polynomier og lineære funktioner
Anvendelse af polynomier i enkle modellerings- og regressionsopgaver

Undervisningsformer
Undervisningen har været tilrettelagt med en vekslen mellem klasseundervisning, opgaveløsning og arbejde med grafiske repræsentationer. Der har været fokus på sammenhængen mellem forskrift, graf og fortolkning. Beviset for nulpunktsformlen er gennemgået som eksempel på matematisk argumentation.
Evaluering
Elevernes faglige udbytte er løbende evalueret gennem afleveringsopgaver. Forløbet er afsluttet med en skriftlig prøve.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 10,00 moduler
Dækker over: 10 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 9 Deskriptiv statistik

Forløbet har givet eleverne en introduktion til deskriptiv statistik gennem arbejde med både et ugrupperet og et grupperet datasæt. Eleverne har med udgangspunkt i grundbogen selvstændigt undersøgt og tilegnet sig de centrale statistiske begreber, metoder og diagramtyper.
Centrale læringsmål
Eleverne har opnået viden om og færdigheder i:

Beskrivelse af ugrupperede og grupperede data ved hjælp af hyppighed, frekvens og kumuleret frekvens
Beregning og fortolkning af statistiske deskriptorer såsom middelværdi, spredning, median, kvartiler, kvartilbredde og fraktiler
Grafisk repræsentation af data ved søjlediagram, boksplot, histogram og sumkurve
Fortolkning og sammenligning af datasæt med inddragelse af statistiske mål og diagrammer
Anvendelse af regneark i forbindelse med behandling af datasæt

Undervisningsformer
Undervisningen har været tilrettelagt undersøgende og elevaktiv. Eleverne har arbejdet selvstændigt og i samarbejde med at læse i grundbogen, afklare begreber fra læreplanen og anvende disse på konkrete datasæt. Der har været fokus på begrebsforståelse, beregninger og grafiske fremstillinger understøttet af fælles opsamlinger.
Evaluering
Elevernes udbytte af forløbet er løbende vurderet gennem opgavearbejde og mundtlig dialog i undervisningen.
Indhold
Kernestof:

Skriftligt arbejde:
Titel Afleveringsdato
Arbejd selv, deskriptiv statistik 22-10-2025
Omfang Estimeret: 4,00 moduler
Dækker over: 5 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 10 Statistisk test

Forløbet har introduceret eleverne til statistisk hypotesetest med fokus på binomialfordelte data og anvendelse i praksis. Forløbet har været gennemført tværfagligt med samfundsfag og taget udgangspunkt i kommunalvalget i efteråret, hvor eleverne selv har indsamlet empiri til brug i statistiske analyser.

Centrale læringsmål:
Eleverne har opnået forståelse for og færdigheder i:
Binomialfordelte observationer og estimation af basissandsynligheden
Centrale statistiske begreber som population, stikprøve, repræsentativitet, nulhypotese og alternativ hypotese
Opstilling og gennemførelse af tosidet hypotesetest i binomialfordelingen
Anvendelse af signifikansniveau, kritisk område, acceptområde og p-værdi
Fortolkning og formidling af testresultater i hverdagssprog
Anvendelse af chi‑i‑anden‑test som supplerende statistisk test

Undervisningsformer
Undervisningen har været tilrettelagt anvendelsesorienteret og undersøgende. Eleverne har arbejdet med virkelighedsnære problemstillinger i samspil med samfundsfag, herunder selvstændig indsamling af data relateret til vælgeradfærd og politiske holdninger. Der har været fokus på både beregninger, metodiske overvejelser og kritisk vurdering af data og testens forudsætninger.

Evaluering
Elevernes faglige udbytte er løbende evalueret gennem arbejdet med egne data og statistiske tests samt gennem en skriftlige rapport som eleverne har skrevet og afleveret efter kommunalvalget for på den måde at kunne vurdere om deres beregninger viste sig at passe på de egentlige resultater.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 10,00 moduler
Dækker over: 11 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 11 Sandsynlighed og kombinatorik

Forløbet har introduceret eleverne til grundlæggende sandsynlighedsteori og kombinatorik med fokus på modellering af stokastiske eksperimenter. Der har været særlig vægt på undersøgelsesbaseret undervisning og arbejdsformen det tænkende klasserum, hvor eleverne aktivt har udforsket problemstillinger gennem dialog og fælles refleksion.
Centrale læringsmål
Eleverne har opnået forståelse for:

Sandsynlighedsfelter, herunder symmetriske sandsynlighedsfelter, og deres anvendelse som modeller
Begreberne hændelse, uafhængige hændelser samt a priori- og frekventielle sandsynligheder
Kombinatoriske principper, herunder additions- og multiplikationsprincippet samt kombinationer
Beregning af sandsynligheder ved brug af kombinatorik
Stokastiske variable samt middelværdi og spredning
Binomialfordelingen, herunder beregning af sandsynligheder, middelværdi og spredning

Undervisningsformer
Undervisningen har været tilrettelagt undersøgelsesbaseret med fokus på elevaktivering. Gennem det tænkende klasserum har eleverne arbejdet med åbne problemstillinger, fælles problemløsning ved tavlen og argumentation for egne løsninger. Der har været vekslen mellem konkrete eksempler, gruppearbejde og fælles opsamling.
Evaluering
Elevernes faglige udbytte er evalueret med en afsluttende skriftlig prøve.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 8,00 moduler
Dækker over: 12 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 12 Analytisk plangeometri

Forløbet har haft fokus på analytisk plangeometri som samspil mellem geometri og algebra. Eleverne har arbejdet med geometriske objekter beskrevet ved hjælp af koordinater og ligninger og har opnået forståelse for sammenhængen mellem analytiske og grafiske repræsentationer.

Centrale læringsmål
Eleverne har opnået viden om og færdigheder i:
Det retvinklede koordinatsystem
Beregning af afstand mellem to punkter samt mellem punkt og linje
Linjens ligning på formen y=ax+by = ax + by=ax+b og betydningen af hældningskoefficienten
Bestemmelse af skæringspunkter mellem linjer samt arbejde med ortogonale linjer
Hældningsvinkel
Cirklen, herunder cirklens ligning, skæring mellem linje og cirkel samt tangent til cirkel

Undervisningsformer
Eleverne har arbejdet med et udleveret opgavehæfte, som indeholdt relevante uddrag fra formelsamlingen. I første del af forløbet har fokus været på den skriftlige dimension og rutine i beregninger og anvendelse af formler. Undervisningen har løbende været dialogbaseret, hvor eleverne mundtligt har gennemgået opgaver, og flere elever har i denne sammenhæng gennemført beviser for sætninger fra formelsamlingen. Den sidste del af forløbet har haft særligt fokus på bevisførelse og matematisk ræsonnement.
Evaluering
Elevernes faglige udbytte er løbende evalueret gennem mundtlige fremlæggelser, faglig dialog og gennemgang af opgaver i undervisningen.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 12,00 moduler
Dækker over: 12 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 13 Differentialregning

Forløbet introducerer eleverne til differentialregning med udgangspunkt i konkrete eksempler, hvor regnereglerne for differentiation gradvist udledes og afprøves. Herefter arbejdes der med det teoretiske fundament, herunder fortolkning af differentialkvotienten som tangenthældning og væksthastighed samt anvendelse af tretrinsreglen.

Centrale læringsmål (eleverne får kendskab til):
Differentialkvotientens definition og fortolkning som tangenthældning og væksthastighed
Differentiation af sammensatte funktioner (f+g, f−g, k·f, f·g og f∘g)
Udledning af differentialkvotienten for udvalgte simple funktioner
Tangenter og opstilling af tangentligninger
Sammenhængen mellem differentialkvotient, monotoniforhold og ekstrema
Anvendelse af differentialregning i modellerings- og optimeringsopgaver

Undervisningsformer:
Undervisningen har været tilrettelagt undersøgelsesbaseret med fokus på elevaktivitet. Der er arbejdet med fælles klassegennemgange, undersøgende opgaver, grafiske fortolkninger samt anvendelsesorienterede opgaver og modellering. Teori er opbygget med udgangspunkt i konkrete eksempler og elevrefleksion.

Evaluering:
Forløbet er afsluttet med en skriftlig prøve. Derudover har eleverne afleveret en videoopgave, hvor de præsenterer centrale begreber inden for differentialregning samt gennemgår tretrinsreglen for en selvvalgt funktion.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 11,00 moduler
Dækker over: 11 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer