Undervisningsbeskrivelse
Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser
|
Termin(er)
|
2022/23 - 2024/25
|
|
Institution
|
Odense Katedralskole
|
|
Fag og niveau
|
Matematik A
|
|
Lærer(e)
|
Helge Riis Jørgensen
|
|
Hold
|
2022 MA/z (1z MA, 2z MA, 3z MA)
|
Oversigt over gennemførte undervisningsforløb
Beskrivelse af de enkelte undervisningsforløb (1 skema for hvert forløb)
|
Titel
1
|
0. Lineære funktioner fra grundforløbet
Forskrift f(x)=a·x+b.
Notationen f(x), udregne f(tal) og løse f(x)=tal.
Betydning af a og b. Med beviser b=f(0) og f(x+1)=f(x)+a.
Bestemme a (og b) ud fra to punkter med bevis.
Ligefrem proportionalitet.
Lineære modeller - oversætte mellem virkelighed og matematisk model. Opstille model og omvendt analysere model ved bl.a. at fortolke betydningen af a og b.
Tegne grafen for en lineær funktion både med blyant og papir og vha. grafværktøjer under WordMat
Grafisk aflæsning af funktionsværdier f(tal) og løsning af f(x)=tal
Skæringspunkt mellem grafer for lineære funktioner - både grafisk og ved ligningsløsning
Lineær regression i WordMat, kvadratsum, residualer og Residualplot.
Stykkevis definerede lineære funktioner.
|
|
Indhold
|
|
|
Omfang
|
Estimeret:
18,00 moduler
Dækker over:
0 moduler
|
|
Særlige fokuspunkter
|
|
|
Væsentligste arbejdsformer
|
|
|
Titel
2
|
1. Funktioner: potenser, rødder og logaritmer
Definition af begrebet funktion, definitionsmængde og værdimængde.
(Regne-)forskrift, graf og andre repræsentationsformer.
Gaffelforskrift
Begreberne monotoniforhold, voksende og aftagende, monotoniintervaller, lokale/globale ekstrema (maksimum og minimum)
Elementære funktioner: reciprokfunktionen, omvendt proportionalitet, kvadratfunktionen og kvadratrodsfunktionen samt numerisk værdi.
Sum, diffferens, produkt og kvotient af funktioner samt sammensætning af funktioner
Omvendt funktion til en injektiv funktion, herunder at grafen for den omvendte funktion fås ved spejling.
Potenser og potensregneregler.
Rødder og regneregler for rødder.
Titalslogaritmen log(x), grafens udseende og logaritmeregneregler.
Løsning af ligninger vha. logaritmer
|
|
Indhold
|
Kernestof:
|
|
Omfang
|
Estimeret:
10,00 moduler
Dækker over:
14 moduler
|
|
Særlige fokuspunkter
|
|
|
Væsentligste arbejdsformer
|
|
|
Titel
3
|
2. Annuiteter
Procentregning - især formlen s=b(1+r).
Argument for renteformlen, anvendelse af renteformlen, herunder isolering af indgående størrelser.
Effektiv rente (=samlet procentændring over n terminer) samt gennemsnitlig rente.
Annuitetsopsparing (begreberne ydelse/indbetaling pr. termin, rentefod pr. termin og saldo efter n terminer).
Konstruktion og anvendelse af regneark for annuitetsopsparing.
Udledning af formel for saldoen på en annuitetsopsparing (og isolering af ydelsen).
Annuitetslån (begreberne hovedstol, rentefod, ydelse, rente, afdrag, restgæld, løbetid).
Konstruktion og anvendelse af regneark for annuitetslån.
Udledning af formel for ydelsen i et annuitetslån (og isolering af hovedstol og løbetid).
|
|
Indhold
|
Kernestof:
|
|
Omfang
|
Estimeret:
8,00 moduler
Dækker over:
7 moduler
|
|
Særlige fokuspunkter
|
|
|
Væsentligste arbejdsformer
|
|
|
Titel
4
|
3. Eksponentialfunktioner
Forskrift f(x)=b*a^x, konstanternes betydning for grafens udseende, b=begyndelsesværdi, a=fremskrivningsfaktor.
Sammenligning med renteformlen (a=1+r hvor r kaldes vækstraten).
Udregne f(tal) og løse ligning f(x)=tal.
Bevis for karakteristisk vækstegenskab: Når x vokser med 1, ganges y med a, dvs. y vokser med bestemt procent (vækstraten). (Og når x vokser med h vokser y med bestemt procent)
Formel for a givet to punkter med bevis
Definition af begrebet fordoblingskonstant/halveringskonstant samt bevis for formler for disse.
Eksponentiel regression
(Senere: Kort om naturlige eksponentialfunktion og naturlige logaritmefunktion samt omskrivning fra b*a^x til b*e^(kx).)
|
|
Indhold
|
Kernestof:
|
|
Omfang
|
Estimeret:
6,00 moduler
Dækker over:
6 moduler
|
|
Særlige fokuspunkter
|
|
|
Væsentligste arbejdsformer
|
|
|
Titel
5
|
6. Potensfunktioner
Forskrift f(x)=bx^a og graf, herunder betydning af konstanterne a og b for grafens udseende
Bestemme y=f(tal) og løse ligning f(x)=tal
Formel for a givet to punkter på grafen med bevis
Vækstegenskaben "procent procent vækst" med bevis (når x ganges med k, så ganges y med k^a)
Potensregression
|
|
Indhold
|
Kernestof:
|
|
Omfang
|
Estimeret:
5,00 moduler
Dækker over:
4 moduler
|
|
Særlige fokuspunkter
|
|
|
Væsentligste arbejdsformer
|
|
|
Titel
6
|
5. Vektorer i planen - del 1
Definition af begrebet vektor, geometrisk repræsentation med pil, vektorers koordinater i et koordinatsystem
At regne med og tegne vektorer i koordinatsystem (lægge vektorer sammen, trække vektorer fra hinanden, gange vektor med tal, regneregler, indskudsreglen, kræfternes parallelogram)
Stedvektor, vektor mellem to punkter, længde af vektor, afstandsformlen
Enhedscirklen til definition af sinus og cosinus og tangens, grundrelationen
Cosinus, sinus og tangens i retvinklede trekanter
Retningsvinkel og polære koordinater
Skalarprodukt/prikprodukt (definition, regneregler samt uafhængighed af koordinatsystemets placering)
Anvendelser af skalarprodukt (herunder vinkler mellem vektorer, ortogonale vektorer, spidse/stumpe vinkler, samt projektion)
Tværvektor og determinant
Anvendelser af determinanter (herunder parallelle vektorer og areal af det udspændte parallelogram)
Vilkårlige trekanter - cosinusrelationer, arealformler og sinusrelationer udledt vha. vektorer.
Opgaveregning med de 5 trekantstilfælde
|
|
Indhold
|
Kernestof:
|
|
Omfang
|
Estimeret:
15,00 moduler
Dækker over:
17 moduler
|
|
Særlige fokuspunkter
|
|
|
Væsentligste arbejdsformer
|
|
|
Titel
7
|
6. Andengradspolynomier
Kvadratsætninger - anvendelse "forlæns og baglæns".
Løsning af andengradsligninger - bevis for diskriminantformel.
Andengradspolynomier - forskrift og betydning af indgående konstanter for grafens (parablens) udseende.
Toppunktet og symmetriakse bevist ved parallelforskydning
Nulreglen
Faktorisering af andengradspolynomier med bevis.
Polynomisk regression.
Ligninger og polynomier af højere grad.
Senere: Toppunkt og monotoniforhold vha. differentialregning.
|
|
Indhold
|
Kernestof:
|
|
Omfang
|
Estimeret:
8,00 moduler
Dækker over:
9 moduler
|
|
Særlige fokuspunkter
|
|
|
Væsentligste arbejdsformer
|
|
|
Titel
8
|
7. Differentialregning
Definition af begrebet differentialkvotient ("det sekanthældningen går imod, når h går mod 0").
Tretrinsreglen.
Beviser for differentialkvotienten for simple funktioner.
Beviser for regneregler for differentiation (sum, differerens, konstant gange funktion, samt produkt af to funktioner og kædereglen til differentiation af sammensatte funktioner).
Udledning af tangentligning.
Monotoniforhold og ekstrema samt vandrette vendetangenter.
Definition af den naturlige eksponentialfunktion og den naturlige logaritmefunktion samt udledning af deres differentialkvotienter.
Omskrivning af eksponentialfunktioner til formen y=b*e^(kx).
Begrebet væksthastighed.
Anvendelser af differentialregning til optimering.
Projekt: Optimering.
Afsluttende prøve med og uden hjælpemidler.
|
|
Indhold
|
Kernestof:
|
|
Omfang
|
Estimeret:
18,00 moduler
Dækker over:
29 moduler
|
|
Særlige fokuspunkter
|
|
|
Væsentligste arbejdsformer
|
|
|
Titel
9
|
8. Vektorer: linjer og cirkler
Linjens ligning og linjens parameterfremstilling
Skæring mellem linjer
Ortogonale linjer og parallelle linjer
Projektion af punkt på linje
Vinkler mellem linjer, hældningsvinkel
Afstand fra punkt til linje
Cirklens ligning
Cirkeltangenter
Skæring mellem linjer og cirkler
|
|
Indhold
|
Kernestof:
|
|
Omfang
|
Estimeret:
10,00 moduler
Dækker over:
11 moduler
|
|
Særlige fokuspunkter
|
|
|
Væsentligste arbejdsformer
|
|
|
Titel
10
|
9. Trigonometriske funktioner
Radianer - det vinkelmål, der bruges, når vi betragter trigonometriske funktioner.
Funktionerne cos(x), sin(x) og tan(x) - herunder forståelse af grafernes udseende på baggrund af enhedscirklen.
Trigonometriske ligninger - løsning både uden og med hjælpemidler (Bemærk: ofte uendeligt mangeløsninger).
Differentiation af de trigonometriske funktioner.
Harmoniske svingninger - betydning af de indgående konstanter (begreberne vandret midterakse, amplitude, periode/svingningstid, faseforskydning).
Anvendelser af trigonometriske funktioner i modeller.
|
|
Indhold
|
Kernestof:
|
|
Omfang
|
Estimeret:
6,00 moduler
Dækker over:
6 moduler
|
|
Særlige fokuspunkter
|
|
|
Væsentligste arbejdsformer
|
|
|
Titel
11
|
10. Deskriptiv statistik
Ugrupperede observationssæt (hyppighed, frekvens, middelværdi, varians og spredning, kvartilsæt, boksplot, prikdiagram, stolpediagram.
Grupperede observationsssæt (intervalhyppighed, intervalfrekvens, middelværdi, varians og spredning, kvartilsæt, boksplot, histogram og sumkurve.
Kvartilbredde, Venstreskæv/højreskæv og outliers.
Figurer i WordMat.
|
|
Indhold
|
Kernestof:
|
|
Omfang
|
Estimeret:
2,00 moduler
Dækker over:
2 moduler
|
|
Særlige fokuspunkter
|
|
|
Væsentligste arbejdsformer
|
|
|
Titel
12
|
11. Sandsynlighed og kombinatorik
Sandsynlighedsmodeller (udfaldsrum, sandsynlighedsforeling, udfald, hændelser).
Sandsynlighed for en hændelse i symmetrisk udfaldsrum som antal gunstige/antal mulige udfald.
Teorien blev eksemplificeret ved eksperimenter med to kast med mønt og øjensum ved to kast med terning.
Kombinatorik (multiplikationsprincip ved både-og valg, additionsprincip ved enten eller valg, fakultet, permutationer og kombinationer, formel for
binomialkoefficienter) med anvendelser til udregning af sandsynligheder.
Uafhængige hændelser og betingede sandsynligheder.
Binomialfordelingen med bevis.
Aflæsning af binomialfordeling i WordMats Exceludvidelse.
Hypotesetest af typen tosidet binomialtest (herunder begreberne nulhypotese, signifikansniveau, teststørrelse og kritisk mængde samt kriterie for hvornår nulhypotesen skal forkastes henholdsvis accepteres.
|
|
Indhold
|
Kernestof:
|
|
Omfang
|
Estimeret:
8,00 moduler
Dækker over:
9 moduler
|
|
Særlige fokuspunkter
|
|
|
Væsentligste arbejdsformer
|
|
|
Titel
13
|
12. Normalfordelingen og statistiske tests
Kontinuerte fordelinger generelt - frekvensfunktion og fordelingsfunktion
Normalfordelingen - karakteristiske klokkeform, frekvensfunktion og fordelingsfunktion
Middelværdi og spredning - samt vigtige intervaller
Anvendelser af normalfordeling
Beregning af sandsynligheder for normalfordeling vha. WordMat
Undersøge om et datamateriale er tilnærmelsesvist normalfordelt (Normalfordelingspapir, histogramfit, normalplot/QQ-plot i WordMat)
Normalfordelingsapproksimation af binomialfordeling (for store n).
Konfidensinterval for sandsynlighedsparameteren i en stikprøve - udledt vha. normalfordelingsapproksimation
Anvendelse af konfidensinterval til hypotesetest
Lineær regressionsanalyse (Residualspredning for lineær regression, residualer normalfordelte, konfidensinterval for hældning)
Forståelse af Galtonapparat til illustration af normalfordelingsapparoksimation.
Simulering til illustration af den centrale grænseværdisætning, "at summen af uafhængige tilfældige bidrag bliver normalfordelt".
|
|
Indhold
|
Kernestof:
|
|
Omfang
|
Estimeret:
10,00 moduler
Dækker over:
11 moduler
|
|
Særlige fokuspunkter
|
|
|
Væsentligste arbejdsformer
|
|
|
Titel
14
|
13. Integralregning
Definition af begrebet stamfunktion.
Begrunde stamfunktioner for kendte funktioner.
Bevis for de 2 sætninger om at bestemme samtlige stamfunktioner.
Ubestemt integral og bestemt integral, samt beviser for regneregler for begge typer af integral.
Integration ved substitution
Geometriske eksempler, der illustrerer, at arealer kan bestemmes som bestemte integraler og at arealfunktionen er en stamfunktion.
Bevis for, at arealfunktionen er en stamfunktion og for anvendelse af bestemt integral til arealbestemmelse.
Andre anvendelser af integralregning - herunder bevis for rumfang af omdrejningslegeme og bevis for formel for kurvelængde.
Anvendelse af integralregning til beregninger omhandlende sandsynligheder for normalfordelingen
Afsluttende prøve med og uden hjælpemidler
|
|
Indhold
|
Kernestof:
|
|
Omfang
|
Estimeret:
15,00 moduler
Dækker over:
14 moduler
|
|
Særlige fokuspunkter
|
|
|
Væsentligste arbejdsformer
|
|
|
Titel
15
|
14. Differentialligninger
Forståelse af begrebet differentialligning, herunder en bestemt løsning, den fuldstændige løsning samt teknikken "at gøre prøve."
Bestemmelse af tangentligninger til løsningskurver og monotoniforhold for løsninger ved at betragte selve differentialligningen.
Begreberne linjeelement og hældningsfelt.
Løsning af y'=h(x) ved integration.
Bevis for løsning af differentialligningerne y'=ky, y'=b-ay, den logistiske y'=y(b-ay)=ay(M-y), og den lineære y'+a(x)y=b(x).
Karakterstik af løsningskurver til y'=b-ay (asymptotiske egenskaber)
Karakteristik af løsningerne til den logistiske ligning, herunder bærekapacitet, maksimal væksthastighed og asymptoter.
Løsning af differentialligninger af typen y'=g(y)*h(x) ved separation af variable.
Opstilling af differentialligningsmodeller.
|
|
Indhold
|
Kernestof:
|
|
Omfang
|
Estimeret:
12,00 moduler
Dækker over:
13 moduler
|
|
Særlige fokuspunkter
|
|
|
Væsentligste arbejdsformer
|
|
|
Titel
16
|
15. Uegentlige integraler og sandsynlighedsregning
Integration over ubegrænsede intervaller og integration af ubegrænsede funktioner - hvor integralerne bestemmes som en passende grænseværdi.
Eksemplet Torricellis trompet( (Gabriels horn/The painters paradox).
Frekvensfunktioner/tæthedsfunktioner og sandsynlighedsfordelinger for kontinuerte stokastiske variable.
Herunder særligt fokus på frekvensfunktion og sandsynlighedsberegninger for normalfordelingen ved brug af integralregning.
|
|
Indhold
|
Kernestof:
|
|
Omfang
|
Estimeret:
3,00 moduler
Dækker over:
3 moduler
|
|
Særlige fokuspunkter
|
|
|
Væsentligste arbejdsformer
|
|
|
Titel
17
|
16. Funktioner af to variable
Vektorer i rummet (herunder specielt vektor mellem to punkter, skalarproduktet og ortogonale vektorer samt
krydsproduktet).
Udledning af ligningen for en plan gennem et punkt med en given normalvektor.
Forskrift, definitionsmængde, funktionsværdier og graf for en funktion af to variable
Niveaukurver og snitkurver
Partiel differentiation og tangenter
Tangentplanen til grafen i et punkt
Gradienten og dens geometriske betydning
Stationære punkter
Bestemmelse af arten af et stationært punkt (lokalt maksimum/lokalt minimum/saddelpunkt)
Anvendelser til optimering
Projekt: Anamorfe illusioner
|
|
Indhold
|
Kernestof:
|
|
Omfang
|
Estimeret:
12,00 moduler
Dækker over:
11 moduler
|
|
Særlige fokuspunkter
|
|
|
Væsentligste arbejdsformer
|
|
|
Titel
18
|
17. Vektorfunktioner
Parameterfremstillinger og banekurver
Omskrivning til ligning ved parameterelimination
Tangentvektor (differentiabilitet) og tangent
Hastighed og acceleration
Kurveundersøgelse (skæring med akser, tangenter parallelle med akser, dobbeltpunkter, vinkler mellem tangenter)
Udledning af parameterfremstillinger for særlige kurver: Cirkler, cykloiden, hypocykloiden og Agnesis Heks.
|
|
Indhold
|
Kernestof:
|
|
Omfang
|
Estimeret:
14,00 moduler
Dækker over:
9 moduler
|
|
Særlige fokuspunkter
|
|
|
Væsentligste arbejdsformer
|
|
|
Titel
19
|
18. Forberedelsesmateriale
|
|
Indhold
|
Kernestof:
|
|
Omfang
|
Estimeret:
6,00 moduler
Dækker over:
6 moduler
|
|
Særlige fokuspunkter
|
|
|
Væsentligste arbejdsformer
|
|
{
"S": "/lectio/600/stamdata/stamdata_edit_student.aspx?id=666\u0026prevurl=studieplan%2fuvb_hold_off.aspx%3fholdid%3d51675486099",
"T": "/lectio/600/stamdata/stamdata_edit_teacher.aspx?teacherid=666\u0026prevurl=studieplan%2fuvb_hold_off.aspx%3fholdid%3d51675486099",
"H": "/lectio/600/stamdata/stamdata_edit_hold.aspx?id=666\u0026prevurl=studieplan%2fuvb_hold_off.aspx%3fholdid%3d51675486099"
}