Holdet 2d Ma (2025/26) - Undervisningsbeskrivelse

menu

Undervisningsbeskrivelse

Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser
Termin(er) 2024/25 - 2025/26
Institution Falkonergårdens Gymnasium og HF
Fag og niveau Matematik B
Lærer(e) Kim Austin Schmidt
Hold 2024 Ma/d (1d Ma, 2d Ma)

Oversigt over gennemførte undervisningsforløb
Titel 1 Ensvinklede og retvinklede og vilkårlige trekanter
Titel 2 Ligninger og talmængder
Titel 3 Polynomier
Titel 4 Eksponentiel udvikling og logaritmer
Titel 5 Sammensatte funktioner - mikroforløb
Titel 6 Årsprøve
Titel 7 Rente- og annuitetsregning
Titel 8 Potensfunktioner
Titel 9 Sandsynelighedsregning og statistik
Titel 10 Differentialregning
Titel 11 Analytisk plangeometri

Beskrivelse af de enkelte undervisningsforløb (1 skema for hvert forløb)
Titel 1 Ensvinklede og retvinklede og vilkårlige trekanter

Kernestof
Ensvinklede trekanter, enhedscirklen med retningspunkt og omløbsretning, definition af sinus, cosinus og tangens, trigonometrisk beregning i retvinklede trekanter.

Trigonometrisk beregning i vilkårlige trekanter, herunder arealformel, sinusrelation og cosinusrelation.

Beviser
Formlen for sin, cos og tan i den retvinklede trekant
Arealformlen for en vilkårlig trekant
Sinusrelationerne
Cosinusrelationerne

Primære faglige mål
– Operere med tal og repræsentationer af tal samt kritisk vurdere resultater af sådanne operationer
– håndtere formler, kunne opstille og redegøre for symbolholdige beskrivelser af variabelsammenhænge og kunne anvende symbolholdigt sprog til at løse problemer med matematisk indhold
– opstille geometriske modeller
– anvende matematiske værktøjsprogrammer til problemløsning
– operere med og redegøre for matematiske ræsonnementer og beviser
– kommunikere aktivt i, med og om matematik i både mundtlig og skriftlig formidling  
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 14 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 2 Ligninger og talmængder

Ligninger, lidt om uligheder, nulreglen, intervaller, to ligninger med to ubekendte, andengradsligninger. Ligningsløsning med algebraiske og grafiske metoder. Rødder og potenser. Potensregneregler. Repetition af kvadratsætninger, og absolut/nummerisk værdi.

Introduktion til talmængderne ℕ, ℤ, ℚ og ℝ samt forskellige repræsentationer af tal, herunder brøk, decimaltal og eksponentiel notation med tierpotenser og omskrivning mellem dem.

Beviser
andengradsligningens løsningsformel

Primære faglige mål
– Operere med tal og repræsentationer af tal samt kritisk vurdere resultater af sådanne operationer
– håndtere formler, kunne opstille og redegøre for symbolholdige beskrivelser af variabelsammenhænge og kunne anvende symbolholdigt sprog til at løse problemer med matematisk indhold
– kommunikere aktivt i, med og om matematik i både mundtlig og skriftlig formidling
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 7 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 3 Polynomier

Andengradspolynomiet. Konstanterne a, b, c samt diskriminanten d's betydning for grafens udseende.
Bestemmelse af rødder i polynomiet.
Bestemmelse af toppunktet.
Faktoriseret form.
Parallelforskydning af parabel og toppunkt.
Polynomier af vilkårlig grad - generel beskrivelse, herunder sammenligning af polynomier af lige og ulige grad.
Regression med polynomier og polynomiet som model.

Bevis
Bevis for at f(x) = a(x-h)^2 + k er en parralleforskydning af toppunktet fra origo til (h,k).
Andengradsligningens løsning bevist i tidligere forløb.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 9 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 4 Eksponentiel udvikling og logaritmer

Procentregning og relativ vækst.

Eksponentialfunktioner og eksponentiel udvikling.
-Betydningen af a og b for grafens forløb.
-Grundtal a som fremskrivningsfaktor og vækstraten, r.
-Fordoblingskonstant og halveringskonstant.
-Topunktformlen.
-Eksponentielle modeller og regression.

Titalslogaritmen log(x)
-Regnereglen log(a^x)=xlog(a) anvendt til løsning af ligninger
-Omvendt funktion til 10^x, grafens forløb for begge funktioner

Den naturlige logaritme ln(x)
Aflæsninger i enkeltlogaritmisk koordinatsystem
Omskrivningen mellem b*a^x og b*e^(kx) samt betydningen af k's fortegn for om funktionen er voksende eller aftagende.

Funktioner: Definitionsmængde og værdimængde, notation med Dm(f) og Vm(f) -
fokus på eksponentialfunktion, logaritmefunktion, polynomier, omvendt (invers) funktion

Undervejs repetition af potensregneregler, herunder omskrivning mellem potenser og rødder. Argument for a^0=1 og for at a^½ = kvadratrod(a).

Beviser:
-Topunktformlen for eksponentiel funktion
-Formlen for fordoblingskonstanten
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 13 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 5 Sammensatte funktioner - mikroforløb

Sammensatte funktioner.

Notation.
Beregninger.
Aflæsning på grafer.
Aflæsning fra tabeller.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 3 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 6 Årsprøve

Repetition og træning til den mundtlige årsprøve
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 2 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 7 Rente- og annuitetsregning

Repetition af eksponentiel vækst, herunder regression.

Procent- og rentesregning, absolut og relativ ændring, renteformel.

I dette forløb har eleverne selvstændigt, under vejledning, arbejdet med at læse og tilegne sig matematisk viden og indsigt.

Opsparings- og gældsannuitet.

Beviser
Summen af en endelig potensrække, uden diskussion af konvergens.
Bevis for opsparingsannuitetsformlen vha. summen for en potensrække.

Primære faglige mål
̶ benytte matematik som middel til at analysere og løse problemer inden for faget selv eller andre fagområder og i relation til omverdenen
̶ opstille, bearbejde og fortolke matematiske modeller til beskrivelse af fænomener inden for forskellige fagområder
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 8 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 8 Potensfunktioner

Potensfunktioner, herunder særligt reciprokfunktionen og kvadratrodsfunktionen. Potensregression. Kobling til polynomier.
Gaffelforskrifter, omvendt proportionalitet, invers/omvendt funktion og logaritmeregneregler inddrages.
Repetition af logaritimiske akser, samt enkeltlogaritmisk koordinatsystem. Aflæsning og punktafsætning i dobbeltlogaritimisk koordinatsystem.

Beviser
Minibevis for potensudviklinger går gennem (1,b).
Bestemmelse af a og b ud fra to punkter på en potensudvikling (to-punktsformel).

Primære faglige mål
̶ anvende digitale værktøjer til modellering og matematisk problemløsning
̶ forstå og anvende matematisk symbol- og formelsprog
̶ vælge, benytte og oversætte mellem repræsentationer af matematiske objekter
̶ anvende digitale værktøjer til modellering og matematisk problemløsning
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 9 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 9 Sandsynelighedsregning og statistik

Deskriptiv statistik: Beskrivelse og grafisk repræsentation af ugrupperet og grupperet observationsmateriale, statistiske deskriptorer.

Sandsynlighedsregning: Sandsynlighed, sandsynlighedsfelt, særligt symmetrisk sandsynlighedsfelt. Hændelse. Kombinatorik, herunder kombinationer. Stokastisk variabel, herunder middelværdi og spredning.
Binomialfordelingen, herunder beregning af tilhørende sandsynligheder samt middelværdi og spredning.

Statistik: Binomialfordelt statistisk materiale. Estimation af basissandsynligheden. Hypotesetest i binomialfordelingen, herunder nulhypotese og alternativ hypotese, kritisk område og acceptområde samt signifikansniveau.

Historisk forløb om Pierre de Fermat og Blaise Pascals bidrag til sandsynlighedsregning ud fra et udsnit af et brev. To af datidens hasardspil blev analyseret teoretisk; mindst en sekser på fire kast og mindst en dobbeltsekser på 24 kast. Det første spil blev ydermere simuleret 9000 gange i TI-Nspire af klassen.
Problemet med at dele en pulje retfærdigt når et spil afsluttes før tid er behandlet.
Eleverne har i grupper arbejdet med en åben problemstillinger om at skabe et hasardspil på baggrund af sandsynlighedsregning.

Beviser
Formlen for K(n,r) bevist ud fra eksempler.
Binomialformlen (punktssandsynlighed) bevist ud fra generalisering af eksempler.


Primære faglige mål
̶ vælge, benytte og oversætte mellem repræsentationer af matematiske objekter
̶ anvende digitale værktøjer til modellering og matematisk problemløsning
̶ benytte matematik som middel til at analysere og løse problemer inden for faget selv eller andre fagområder og i relation til omverdenen
̶ opstille, bearbejde og fortolke matematiske modeller til beskrivelse af fænomener inden for forskellige fagområder samt diskutere modellers anvendelse og rækkevidde
̶ læse og bearbejde tekster med matematikfagligt indhold
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 22 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 10 Differentialregning

Grænseværdibegrebet og kontinuitet behandlet kort på basis af grafer og taleksempler. Disse som forudsætning for differentialregning.
Definition og fortolkning af differentialkvotient, herunder væksthastighed.

Differentiation af f +g, f – g, k ·f, f ·g og f º g samt afledet funktion for de ovennævnte funktionstyper. Tangent, tangentligning. Afledede funktioner af nogle simple funktioner vha. tretrinsregel.

Repetition af monotoniforhold, ekstrema, nu med sammenhængen mellem disse begreber og differentialkvotient. Optimering.

Beviser
Alt efter elevens niveau er der arbejdet med at bevise differentialkvotienten for f(x) = k, f(x) = ax+b, f(x) = ax^2+bx+c, f(x) = x^2, f(x) = x^3, f(x) = sqrt(x) og f(x) = 1/x vha. tretrinsregel.

Regneregler for differentiation af f + g, f – g, k · f er bevist. Regnereglen for differentiation af f · g er bevist af elever der hæver til A. (supplerende stof)

Primære faglige mål
̶ undersøge problemstillinger og udvikle og vurdere løsninger, hvor fagets viden og metoder anvendes
̶ demonstrere viden om fagets identitet og metoder
̶ læse og bearbejde tekster med matematikfagligt indhold
̶ formidle emner med matematikfagligt indhold mundtligt og skriftligt
̶ redegøre for grundlæggende matematiske begreber, teorier og metoder samt kunne anvende dem i problemløsning og modellering
̶ følge og gennemføre matematiske ræsonnementer og udvalgte beviser og derigennem demonstrere kendskab til opbygningen af matematisk teori
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 22 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 11 Analytisk plangeometri

Afstand mellem to punkter. Linjens ligning, herunder hældningskoefficient. Skæring mellem linjer, ortogonale linjer. Hældningsvinkel. Afstand mellem punkt og linje. Cirklen, herunder cirklens ligning, skæring mellem linje og cirkel samt tangent til cirkel.

Bevis
Formlen for afstanden mellem to punkter vha. pythagoras.
To-punktsformlen for den rette linje er bevist i grundforløbet.
Minibevis for at b er skæringen med y-asken for en ret linje.
Minibevis for en linjes hældningsvinkel ud fra dens hældningskoefficient.
Bevis for cirklens ligning ud fra afstandsformlen.
Beviset for distanceformlen mellem punkt og linje.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 11 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer