Holdet 2022 MA/x - Undervisningsbeskrivelse

menu

Undervisningsbeskrivelse

Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser
Termin(er) 2022/23 - 2024/25
Institution Greve Gymnasium
Fag og niveau Matematik A
Lærer(e) Louise Bøtchier Meyer
Hold 2022 MA/x (1x MA, 2x MA, 3x MA)
Oversigt over gennemførte undervisningsforløb
Titel 1 Funktionsbegreber og grafer, grundforløb
Titel 2 Lineære funktioner, grundforløb
Titel 3 Modellering: Regression, grundforløb
Titel 4 Andengradspolynomier, grundforløb
Titel 5 Polynomier
Titel 6 Eksponentialfunktioner og eksponentiel vækst
Titel 7 Puljetimer
Titel 8 Potensfunktioner og potensvækst
Titel 9 Logaritmefunktioner
Titel 10 Mere om funktioner
Titel 11 Differentialregning
Titel 12 Finansiering af boligkøb
Titel 13 Integralregning
Titel 14 Forløb i samarbejde med historie
Titel 15 Statistik
Titel 16 Sandsynlighedsregning og binomialfordelingen
Titel 17 Plangeometri, vektorer
Titel 18 Ligningssystemer
Titel 19 Trigonometriske funktioner
Titel 20 Sandsynlighedsregning 2: Normalfordelingen
Titel 21 Snyd
Titel 22 Hvad er tal?
Titel 23 Vektorfunktioner
Titel 24 Differentialligninger
Titel 25 Funktioner af 2 variable
Titel 26 Forberedelsesmateriale
Titel 27 Eksamen

Beskrivelse af de enkelte undervisningsforløb (1 skema for hvert forløb)
Titel 1 Funktionsbegreber og grafer, grundforløb

Funktionsbegrebet
Variabelsammenhænge
Repræsentationsformer
Grafisk forløb for diverse funktioner herunder diverse begreber.

Grundbog A1 side 8-15, 58-62
Grundforløbsbogen side 38-43.
Indhold
Omfang Estimeret: 8,00 moduler
Dækker over: 0 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 2 Lineære funktioner, grundforløb

Forskrift og graf for lineær funktion
Løs x=..  y=.. f(x)=.. i hånden (repetition)
Bestem a og b ud fra to punkter på grafen
Eksempler fra andre fag: (Fortolk a og b)
Skæring mellem to lineære funktioner (forskellige metoder til løsning af to ligninger med to ubekendte - mulighed for differentiering)
Bevis for konstanterne a og b ud fra to punkter på grafen
Bevis for vækstegenskaber

Grundforløbsbogen s. 8-38.
Indhold
Omfang Estimeret: 9,00 moduler
Dækker over: 0 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 3 Modellering: Regression, grundforløb

Foretage forskellige typer af regressioner på data og udføre kvalitativ og kvantitativ vurdering vha. residualplot og R-i-anden.
Vurdering og diskussion af modellers gyldighed.

Grundforløbsbogen s. 46-52.
Indhold
Omfang Estimeret: 3,00 moduler
Dækker over: 0 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 4 Andengradspolynomier, grundforløb

Spor til forløbet om polynomier

Forskrift og graf for et andengradpolynomium.
Grafisk undersøge konstanterne a, b og c’s betydning for parablens udseende og beliggenhed i koordinatsystemet.
Indføre diskriminanten d og dens betydning for antal skæringspunkter mellem parablen og x-aksen.
Bestemme toppunkt grafisk.
Løse andengradsligninger grafisk og med CAS.
Modeller med andengradspolynomier (ikke regression)
Indhold
Omfang Estimeret: 2,00 moduler
Dækker over: 0 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 5 Polynomier

Forskellen på en andengradsligning og et andengradspolynomium
Metoder til at løse forskellige typer af andengradsligninger, herunder nulreglen og diskriminantformlen.
Bevis for diskriminantformlen.
Rødder, toppunkt og graf for andengradspolynomier. Herunder a, b, c og d's betydning for grafens udseende.
Bevis for, at parablen skærer y-aksen i c.
Bevis for, at tangenten til parablen i punktet (0,c) har ligningen y=bx+c (gennemgået i forløbet om differentialregning).
Omtale af parablen symmetriakse.

Polynomier af grad større end to med fokus på
- grafens udseende for et tredjegradspolynomium og for et fjerdegradspolynomium (generaliseret til polynomier af henholdsvis ulige og lige grad)
- finde rødder v.hj.a faktorisering.
- Tangenten i skæringen med y-aksen.
- Antal rødder (højst n).

OBSOBS: Til LBM: Beviset er endnu ikke gennemgået!!
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 10,00 moduler
Dækker over: 11 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 6 Eksponentialfunktioner og eksponentiel vækst

Tallene a’s og b’s betydning for grafens udseende
At bestemme a og b ud fra to punkter på grafen for en eksponential funktion samt beviserne for disse to formler
Eksponentiel vækst: a’s og b’s betydning
Fordoblings- og halveringskonstant
Praktisk anvendelse: 1) At kunne opstille en model ud fra tekst og 2) At kunne tolke en model.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 10,00 moduler
Dækker over: 8 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 7 Puljetimer

Reduktion, ligningsløsning og løsning af to ligninger med to ubekendte.

Al materiale hertil ligger under holdets dokumenter.
Indhold
Omfang Estimeret: 4,00 moduler
Dækker over: 4 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 8 Potensfunktioner og potensvækst

Tallene a’s og b’s betydning for grafens udseende
At bestemme a og b ud fra to punkter på grafen for en potensfunktion.
Potensvækst: Hvis x vokser med en bestemt procent, så vokser y også med en (anden) bestemt procent (husk på vores skema med 4 søjler).
Ligefrem og omvendt proportionalitet
(Herunder potenser og rødder)

Beviser er i dette forløb udeladt.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 6,00 moduler
Dækker over: 7 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 9 Logaritmefunktioner

Definition af 10-talslogaritmen samt den naturlige logaritme.
Grafer for log(x) og 10^x i samme koordinatsystem samt for ln(x) og e^x i samme koordinatsystem.
Logaritmer generelt med forskellige grundtal (husk, at du lavede din egen logaritmefunktion)
Logaritmeregnereglerne med fokus på regneregel 3 (med beviser)
Løsning af ligninger v.hj.a. logaritmefunktionen.


Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 4,00 moduler
Dækker over: 4 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 10 Mere om funktioner

Sammensat funktion, indre funktion og ydre funktion.
Invers funktion herunder grafisk sammenhæng mellem f, finvers og y=x.
Stykkevis defineret funktion.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 4,00 moduler
Dækker over: 5 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 11 Differentialregning

Definition af differentialkvotient
Differentialkvotienter for konstante funktioner og polynomier (husk ax er et polynomium af 1. grad).
Regneregler for differentiation.
Bestemmelse af tangentens ligning for en graf i et punkt.
Tangenten i skæringen med y-aksen.
Bevis for formlen for 1. koordinaten til toppunktet på en parabel.
Monotoniforhold og ekstrema - herunder monotonisætningen.
Vandrette vendetangenter.
Væksthastighed
Anvendelse af differentialregning: Optimering.
Vækst og hastighed - herunder asymptotiske egenskaber ved eksponentialfunktioner.

Den teoretiskorienteret del:
Definition af differentiabilitet.
Bevis for differentiabilitet af simple funktioner: f(x) = ax + b, f(x) = x^2, f(x) = x^3, f(x) = 1/x og f(x) = kvadratroden af x.
Bevis for de fleste af regnereglerne herunder produktreglen.
Temaopgave
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 16,00 moduler
Dækker over: 25 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 12 Finansiering af boligkøb

Projektarbejde

Valg af bolig og familie/par/person.
Opsparing til udbetalingen (opsparingsannuitet)
Gældsafvikling af banklån og lån hos kreditforeningen (gældsannuitet).
Udregninger, der viser, at familien/parret/personen har råd til at sidde i boligen.

Fokus er på regneark i stedet for formler.
Indhold
Omfang Estimeret: 3,00 moduler
Dækker over: 3 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 13 Integralregning

Stamfunktion og ubestemt integral
Beviser for to små sætninger relateret til begrebet stamfunktion: Sætning 2.1 og 2.2.
Bestemt integral.
Arealbestemmelse af område under en graf, af område mellem to grafer samt af område over en graf, men under x-aksen: Sætning 2.4, 2.7 og 2.8 med beviser.
Brug af integralregning til at bestemme rumfang og kurvelængde.
Integration ved substitution.

Repetition af definitioner for differentiabilitet (D1 og D2) samt beviser for regneregler for differentialkvotienter: Sætning 6.6, 6.7 og 6.9.

Bevis for, at det bestemte integral kan bruges til arealbestemmelse.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 12,00 moduler
Dækker over: 16 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 14 Forløb i samarbejde med historie

Emne: Epidemier

Fag: Matematik og historie

Indhold:
I skal undersøge udvalgte epidemier historisk og matematisk. I skal se på årsager til disse, og hvad der eventuelt har bremset epidemierne historisk set. I skal opstille en til to hypoteser og teste disse hypotetisk deduktivt ved brug af matematik: I skal udvælge data (se excelfil) fra mindst en epidemi, udarbejde en model herfor samt vurdere modellen. I skal desuden inddrage relevant teori fra matematik.
Husk også at inddrage metoder og begrebspar.

Produkt:
I skal individuelt udarbejde en 2 siders synopsis samt et bilag med databearbejdning.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 3,00 moduler
Dækker over: 3 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 15 Statistik

Deskriptorer og begreber såsom typetal, middelværdi/gennemsnit, kvartiler, kvartilbredde, kvartilsæt, udvidet kvartilsæt, outlier
Ugrupperede observationer - herunder hyppighedsdiagram, søjlediagram og boksplot
Grupperede observationer - herunder frekvens, kumuleret frekvens, histogram, sumkurve og kvartilsæt
Falske sammenhænge og andre fejlslutninger - herunder stikprøve og repræsentativitet.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 4,00 moduler
Dækker over: 3 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 16 Sandsynlighedsregning og binomialfordelingen

Sandsynlighedsregning herunder binomialkoefficienten
Begreber: Eksperiment, a priori sandsynlighed, frekventiel sandsynlighed, udfald, hændelse, sandsynlighedsmodel, symmetrisk sandsynlighedsmodel.

Kombinatorik.
Additionsprincip, multiplikationsprincip
Binomialkoefficienten.
Binomialfordelingen: argumentation for formlen.

Anvendelse:
Konfidensintervaller
Test; højresidet, dobbeltsidet og venstresidet
- herunder begreberne: Stikprøve, population, signifikansniveau, acceptområde og kritisk mængde.


Til LBM: Følgende skal måske tilføjes i 3.g, men har ikke været gennemgået i 2.g:
Binomialfordelingen er brugt som eksempel på diskret matematik.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 12,00 moduler
Dækker over: 17 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 17 Plangeometri, vektorer

Vektorbegrebet.
Regning med vektorer. Herunder regneregler.
Geometrisk konstruktion af summen af to vektorer, differensen af to vektorer mm.
Begreberne modsat vektor, nulvektor, stedvektor og tværvektor.
Kræfter og vektorer
Indskudssætningen.
Vektor mellem to punkter og afstand mellem to punkter.
Prikproduktet.
Ortogonale vektorer og parallelle vektorer.
Vinklen mellem to vektorer
Sammenhæng mellem prikprodukt og vinkel mellem to vektorer.
Enhedsvektorer

Parameterfremstilling for en linie og ligning for en linie. Herunder retningsvektor og normalvektor.
Vinklen mellem to linier.
Skæringen mellem to linier.

Projektion af punkt på linie.
Projektion af vektor på vektor.

Determinant og sammenhæng mellem determinant og areal af parallelogram.
Tværvektor

Afstand fra punkt til linie og afstand mellem to parallelle linier.
Cirklens ligning.
Kvadratkomplettering (omskrive til cirklens ligning)
Skæring mellem cirkel og linie.
Tangent til cirkel.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 20,00 moduler
Dækker over: 26 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 18 Ligningssystemer

Projekt: Løsning af store ligningssystemer ved brug af Gauss elimination.

Materiale:
https://data.math.au.dk/interactive/lt2021/linlign.html
- kun til afsnittet ”3.4 Anvendelser”

”Lineær Algebra” af Lars Hesselholt og Nathalie Wahl, 3. udgave (2023), Institut for Matematiske Fag, Københavns Universitet, side 11-14 og 23-26.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 4,00 moduler
Dækker over: 3 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 19 Trigonometriske funktioner

Radianer og sammenhængen mellem gradtal og radian.
De trigonometriske funktioner: cos(x) og sin(x) herunder graf og periode.
Bevis for grundrelationen (lærernoter).
Harmoniske svingninger herunder parallelforskydning af sin(x).
Differentialkvotient og stamfunktion til henholdsvis cos(x) og sin(x).
Parallelforskydning af funktioner generelt.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 5,00 moduler
Dækker over: 8 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 20 Sandsynlighedsregning 2: Normalfordelingen

Teoretisk forståelse af normalfordelingen:
- Sammenhæng mellem tæthedsfunktion og fordelingsfunktion
- Middelværdiens og spredningens betydning for grafen for tæthedsfunktionen
- Aflæsning af middelværdi på grafen for både tæthedsfunktionen og fordelingsfunktionen
- Bestemmelse sandsynligheder for X
- Normale og exceptionelle udfald

Praktisk anvendelse:
- Middelværdi og spredning for observationssæt
- Estimeret middelværdi og spredning
- Undersøgelse af, om X er normalfordelt (fraktilplot)

Normalfordelingen og den lineære model (regression):
- Er residualerne normalfordelte? (residualfraktilplot)
- Konfidensinterval for hældningskoefficienten.

Lærernoter om sammenhængen mellem normalfordelingen og standardnormalfordelingen inklusiv bevis.

Residualspredning er ikke en del af læreplanen, så Grundbog A3 side 136-139 er ikke gennemgået. Vi har dermed fortsat kun to krav til, at en model er god, nemlig:
1) Residualerne må kun have små afvigelser af data ift. modellen.
2) Residualerne skal være tilfældigt spredt over og under x-aksen.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 10,00 moduler
Dækker over: 8 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 21 Snyd

Et tværfagligt forløb med dansk om novellen Snyd af Anders Bodelsen.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 3,00 moduler
Dækker over: 3 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 22 Hvad er tal?

Matematikhistorisk forløb.
Fokus: Forståelsen af tal på udvalgte tidspunkter i den europæiske historie.

Talmængderne N, Z, Q og R.
Hilberts Hotel: N, Z og Q er tællelige.
R er overtællelig (bevis).
Pythagoræerne og deres problem. Herunder bevis for, at √2∈R∖Q.
Komplekse tal.
- Diskussion: Er tal en menneskeskabt konstruktion?

Decimalbrøker, endelig og uendelig.
Periodiske decimalbrøker.
Definition af potenser.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 7,00 moduler
Dækker over: 5 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 23 Vektorfunktioner

At kunne tegne banekurver for vektorfunktioner .
3 variable; t, x og y. Kun x- og y-værdier kan aflæses på banekurven.
Funktionens input: Tiden t, funktionens output: Et punkt (x,y).

Begrebet koordinatfunktion: x(t) og y(t).
At kunne bestemme banekurvens skæring med x-aksen og med y-aksen.

Bevægelse, hastighed og acceleration for vektorfunktioner.

Begrebet tangentvektor.
At kunne bestemme både parameterfremstilling og ligning for en tangent.
At kunne bestemme lodrette og vandrette tangenter.

Begrebet dobbeltpunkt.
Givet den ene tid i et dobbeltpunkt: At kunne bestemme den anden tid.
Tangenter i dobbeltpunkter.

Anvendelser: Den jævne cirkelbevægelse.
- Teoretisk argumentation for hastighedsvektoren og accelerationsvektoren.

Grundbog A3, side 86 til 87 øverst er ikke pensum.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 10,00 moduler
Dækker over: 16 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 24 Differentialligninger

Definition af differentialligning. Herunder begreberne partikulær løsning, fuldstændig løsning og løsningskurve/integralkurve.

Løsning af simple differentialligninger ved brug af integralregning.

At gøre prøve: Eftervise, at en funktion er en løsning til en differentialligning.

Tangentligninger og linieelementer.

Tre typer af differentialligninger er behandlet særligt:
1) y’ = ky
2) y’ =  b-ay
3) y’ = y(b-ay)
Mht. til 3) er begreberne relativ væksthastighed og øvregrænse behandlet.

Desuden er separable differentialligninger og første ordens lineære differentialligninger behandlet, sidstnævnte dog kun overfladisk.

Opstilling og analyse af differentialligningsmodeller.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 15,00 moduler
Dækker over: 15 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 25 Funktioner af 2 variable

3D-koordinatsystemet herunder xy-planet, xz-planet og yz-planet.
At kunne tegne et punkt samt vejen til punktet i et 3D-koordinatsystem.

Grafen for en funktion af to variable i Maple.

Niveaukurver i Maple samt forstå grafen alene ud fra niveaukurver.
Højdekort.

Bestemmelse af snitkurver.

At kunne bestemme de partielle afledede både i hånden og i Maple - herunder at kende begrebet gradienten og notationen for denne.

At kunne bestemme tangentplaner.
Tangentplan angivet ud fra punkt og normalvektor.

At kunne bestemme stationære punkter.
Tilstrækkelig betingelse for ekstrema.
At kunne afgøre arten af et stationært punkt.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 10,00 moduler
Dækker over: 7 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 26 Forberedelsesmateriale

Selvstændigt arbejde med forberedelsesmaterialet.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 4,00 moduler
Dækker over: 5 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 27 Eksamen

Eksamensråd og eksamenstræning
Indhold
Omfang Estimeret: 4,00 moduler
Dækker over: 4 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer