Holdet 2022 MA/y - Undervisningsbeskrivelse

menu

Undervisningsbeskrivelse

Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser
Termin(er) 2022/23 - 2024/25
Institution Greve Gymnasium
Fag og niveau Matematik A
Lærer(e) Sigrid Skarsholm Risager
Hold 2022 MA/y (1y MA, 2y MA, 3y MA)
Oversigt over gennemførte undervisningsforløb
Titel 1 Eksponential-, potens- og logaritmefunktioner
Titel 2 Puljetimer
Titel 3 Andengrads-polynomier og -ligninger og polynomier
Titel 4 Kombination af funktioner
Titel 5 Opstart på differentialregning
Titel 6 Differentialregning
Titel 7 Trigonometriske funktioner
Titel 8 Integralregning
Titel 9 Statistik, kombinatorik og sandsynlighedsregning
Titel 10 Vektorer og plangeometri
Titel 11 Plangeometri og cirkler
Titel 12 Differentialligninger
Titel 13 Vektorfunktioner
Titel 14 Funktioner af to variable
Titel 15 Normalfordelingen
Titel 16 Forberedelsesmaterialet
Titel 17 Historisk vinkel på induktionsbeviser
Titel 18 Eksamensklar

Beskrivelse af de enkelte undervisningsforløb (1 skema for hvert forløb)
Titel 1 Eksponential-, potens- og logaritmefunktioner

Om eksponentialfunktioner:

Forskrift, graf og konstanternes betydning.
Definitionsmængde, værdimængde og asymptote
Begreberne fremskrivningsfaktor og vækstrate
Opstilling og tolkning af eksponentielle modeller
Bestemmelse af konstanterne i forskriften ud fra to punkter på grafen
Bevis for formlerne til bestemmelse af konstanterne ud fra to punkter på grafen. (Jf. sætning 1.3 s.34 i nedenstående bog)
Fordoblings- og halveringskonstant.
Bevis for fordoblings- og for halveringskonstanten. (Jf. del 1 af sætning 1.5 og del 1 af sætning 1.6 s.39-41 i nedenstående bog)
Eksponentiel vækst
Eksponentiel regression

Om potensfunktioner:

Diverse potensregneregler og regneregler for rødder (jf. formelsamlingens formler (18) - (30)
Forskrift for potensfunktioner. Forskellige graftyper, asymptoter, monotoniforhold og b-værdiens betydning.
Potensvækst.
Topunktsformlen for potensfunktioner
Potensregression.
Ligefrem og omvendt proportionalitet.

Om logaritmefunktioner:

Definition af 10-tals-logaritmen og af den naturlige logaritmefunktion.
Kort om logaritmeregneregler.
Omskrivning frem og tilbage mellem varianter af den naturlige eksponentialfunktion og standard-udgaven af eksponentialfunktioner.

Det gennemgåede stof findes s. 23-52 i "Grundbog A1. Gyldendals Gymnasiematematik" af Clausen, Schomacker og Tolnø, Gyldendal 2017, men ikke alt stoffet på disse sider er gennemgået fra ende til anden.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 26 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 3 Andengrads-polynomier og -ligninger og polynomier

Forskrift og graf for andengradspolynomier.
Konstanternes og diskriminantens betydning.
Bestemmelse af toppunktets koordinater.
Opskrivning af forskrift for andengradspolynomium ud fra toppunktet.
Løsning af andengradsligninger med diskriminantformlen.
Bevis for diskriminantformlen. (Jf. sætning 2.2. s.83 i nedenstående bog. Beviset findes på s.85-86)
Nulreglen og faktorisering af andengradspolynomier ud fra rødderne.
Polynomiel regression

Kort om polynomier generelt og antallet af rødder.

Det gennemgåede stof findes s.80-102  i "Grundbog A1. Gyldendals Gymnasiematematik" af Clausen, Schomacker og Tolnø, Gyldendal 2017. Men ikke alt stoffet er gennemgået fra ende til anden.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 11 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 4 Kombination af funktioner

Sammensat funktion. Begrebet indre og ydre funktion i en sammensat funktion.
Inverse funktioner og spejlinger af deres grafer.
Stykkevis defineret funktion
Parallelforskydning af grafer


Det gennemgåede stof findes s. 62-70 i "Grundbog A1. Gyldendals Gymnasiematematik" af Clausen, Schomacker og Tolnø, Gyldendal 2017. Men ikke alt stoffet er gennemgået fra ende til anden.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 5 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 5 Opstart på differentialregning

Opstart på differentialregning:

Bestemmelse af konkrete differentialkvotienter med Maple. Tolkning af f'(x_0) som en momentan væksthastighed.
Begrebet tangent og begrebet røringspunkt, værdien af f'(x_0) som en tangenthældning.
Differentiation af polynomier
Bestemmelse af tangentligninger med og uden CAS.
Bevis for formlen for førstekoordinaten til toppunktet for et andengradspolynomium. (Jf. sætning 7.7 s.250 i nedenstående bog)
Udledning af andenkoordinaten til samme toppunkt.
Bevis for ligningen for tangenten til parablen i punktet (0,c). (Jf. sætning 7.3 s.241 i nedenstående bog)
Fortegnslinjer og på baggrund af disse: tegning af graf, bestemmelse af monotoniforhold, bestemmelse af ekstremumssteder.

Det behandlede stof findes s.234-237 og s.239-242 og s.250-252 i "Grundbog A1. Gyldendals Gymnasiematematik" af Clausen, Schomacker og Tolnø, Gyldendal 2017, men ikke alt stoffet på disse sider er gennemgået fra ende til anden.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 11 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 6 Differentialregning

Indhold: (Se også forløb om differentialregning fra 1.g)

- Differentiation af elementære funktioner
- Regneregler for differentiation inkl. produktreglen og kædereglen.
- Bevis for produktreglen sætning 6.9 s.192 i A2 er gennemgået
- Eleverne har i matrixgrupper arbejdet med beviserne for regnereglerne s.237 i A1 - de tre af regnereglerne svarer til sætningerne 6.6, 6.7,6.8 på s.188-191 i A2.
- Bestemmelse af monotoniforhold og ekstrema med brug af differentialregning.
- Brug af differentialregning til optimering.
- Sammenhæng mellem graf for funktion og graf for afledt funktion.
- Begreberne grænseværdi, kontinuert funktion, sekant, differenskvotient, differentialkvotient, differentiabel funktion og tangent. (Definition 1 s.182 i Gyldendals Gymnasiematematik Grundbog A2 er brugt)
- Bevis for sætning 6.1 s.184 om differentialkvotienten for "x i anden" er gennemgået.
- Bevis for sætning 6.5 s.187 om differentialkvotienten for "kvadratrod x" er gennemgået
- Eleverne har som afslutning på forløbet udarbejdet en skriftlig rapport om differentialregning.

Det behandlede stof findes i Gyldendals Gymnasiematematik Grundbog A1, 1.udgave, 2017, s.242-252 og i Gyldendals Gymnasiematematik Grundbog A2, 1.udgave, 2018, s.8-32, s.182-193. Kun de beviser som er nævnt ovenfor er gennemgået i undervisningen. Vi har ikke fulgt bogens gennemgang af stoffet.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 24 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 7 Trigonometriske funktioner

Overordnet indhold:
Om enhedscirklen og cosinus og sinus til en vinkel målt i grader og en til en vinkel målt i radianer. De trigonometriske funktioner cos(x) og sin(x) som periodiske funktioner. Gennemgang af harmonisk svingning og betydningen af konstanterne.
Differentiation af de trigonometriske funktioner.


Det behandlede stof findes s.10-20 i Grundbog A3 Gyldendals Gymnasiematematik af Flemming Clausen, Gert Schomacker og Jesper Tolnø, Gyldendal 2019. Der er ikke gennemgået nogen beviser i forløbet og vi har ikke fulgt bogens gennemgang af stoffet.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 8 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 8 Integralregning

Indhold:
- Begreberne stamfunktion, ubestemt integral og bestemt integral.
- Bevis for sætning 2.1 og 2.2 s.37 i Grundbog A2 om stamfunktioners entydighed op til en konstant.
- Bestemmelse af stamfunktion hvis graf går gennem konkret punkt.
- Integration af elementære funktioner.
- Bestemmelse af arealer med brug af bestemte integraler og beregning af bestemte integraler uden at det er arealer.
- Bevis for sætning 6.13 og 6.14 s.199 i Grundbog A2. (Arealbestemmelse med brug af det bestemte integral)
- Grundlæggende regneregler ved integration. (sætning 2.5 og 2.6 i A2)
- Bevis for indskudsreglen ved bestemte integraler. Indskudsreglen står ikke i bogen, men som formel 164 i formelsamlingen for Matematik A. Desuden bevis for regnereglerne i sætning 2.6 om bestemte integraler.
- Bestemmelse af arealer af områder mellem to grafer. Bevis for den tilhørende sætning 2.7 s.49 i Grundbog A2
- Bestemmelse af areal af område under x-aksen og bevis for den tilhørende sætning 2.8 s.52 i Grundbog A2.
- Brug af integralregning til bestemmelse af volumen af omdrejningslegemer.
- Brug af integralregning til bestemmelse af kurvelængde
- Anvendelse af integralregning til modellering.
- Integration ved substitution

Det gennemgåede stof behandles i Gyldendals Gymnasiematematik Grundbog A2, 2018,1.udgave s.34-67 og s.196-200. Kun de ovenfor nævnte beviser er gennemgået i undervisningen og vi har ikke fulgt bogens gennemgang af stoffet.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 22 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 9 Statistik, kombinatorik og sandsynlighedsregning

Overordnet indhold:

Kort forløb med deskriptiv statistik:
Ugrupperede observationer:
- Typetal, middeltal/middelværdi, hyppighed, frekvens, kvartilsæt, boksplot, variationsbredde, kvartilbredde, udvidet kvartilsæt og outlier.
Grupperede observationer:
- Aflæsning af kvartilsæt og andet på sumkurver. Brug af Maple til at lave sumkurver og foretage beregninger.

Indhold i forbindelse med kombinatorik og sandsynlighedsregning:
- Begrebet fakultet, permutationer og kombinationer. Herunder formler til beregning af permutationer og kombinationer. Brug af tælletræer.
- Additionsprincippet og multiplikationsprincippet ved antal muligheder og ved sandsynlighedsberegning.
- Bestemmelse af binomialkoefficienter (og brug af Pascals trekant)
- Beregning af sandsynligheder for kombinationer.
- Begrebet sandsynlighedsfelt/sandsynlighedsmodel herunder symmetrisk sandsynlighedsfelt
- Binomialfordelingen, herunder stokastisk variabel, uafhængighed, antalsparameter, sandsynlighedsparameter, middelværdi og spredning, søjlediagram/pindediagram over sandsynlighedsfordelingen. Brug af Maple til kumulerede sandsynligheder (intervaller). Exceptionelle og normale udfald.
- Tosidet binomialtest. Herunder begreberne nulhypotese, alternativ hypotese, signifikansniveau, acceptmængde/acceptområde, kritisk mængde/kritisk område og test-størrelse.
- Bestemmelse af konfidensintervaller.

Det behandlede stof findes dels i Gyldendals Gymnasiematematik Grundbog A1, 2017, 1.udgave s.114-128 samt i Gyldendals Gymnasiematematik Grundbog A2, 2018, 1.udgave s. 98-139. Vi har ikke fulgt bogens gennemgang af stoffet.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 12 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 10 Vektorer og plangeometri

Overordnet indhold:

- Koordinatsæt til vektorer, tegning af repræsentanter for vektorer, aflæsning af koordinater til en vektor, bestemmelse af længden af en vektor.
- Beregning af sum og differens af vektorer, tegning af sum og differens af vektorer, multiplikation af vektor med en konstant.
- Nulvektoren, den modsatte vektor og begrebet stedvektor.
- Bestemmelse af vektor mellem to punkter.
- Prikproduktet og sammenhængen mellem prikproduktets fortegn og vinklen mellem de to vektorer. Sætning 4.12 i A1 gennemgået med bevis.
- Tværvektor og dens egenskaber. Tværvektorens egenskaber 1)-2) i sætning 5.4 i A2 er gennemgået med bevis.
- Begrebet numerisk værdi, determinanter og deres egenskaber. I sætning 5.5 i A2 om determinantens egenskaber er egenskaberne 1)-3) gennemgået med bevis.
- Begreberne retningsvektor og normalvektor, linjer beskrevet ved parameterfremstilling og ved linjens ligning. Linjens ligning er udledt.
- Eksempler på bestemmelse af skæring mellem linjer og af vinkler mellem linjer.
- Bestemmelse af afstand mellem punkt og linje.

Det behandlede stof findes dels i Gyldendals Gymnasiematematik Grundbog A1, 2017, 1.udgave s.148-173 samt i Gyldendals Gymnasiematematik Grundbog A2, 2018, 1.udgave s.142-154 og s.158-171. Kun de beviser, der er nævnt ovenfor, er gennemgået i undervisningen. Vi har ikke fulgt bogens gennemgang af stoffet.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 19 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 11 Plangeometri og cirkler

Indhold:
Indskudsreglen og udledning af parameterfremstillingen for en linje
Udledning af cirklens ligning
Bestemmelse af ligning for tangent til cirklen
Linjer og cirkler: Sammenhæng mellem afstand fra linje til cirklens centrum og antal skæringer mellem linje og cirkel.
Kvadratsætninger og kvadratkomplettering.

Det behandlede stof findes dels i Gyldendals Gymnasiematematik Grundbog A1, af Clausen, Schomacker og Tolnø, 2017, 1.udgave, s.159-160 og dels i Gyldendals Gymnasiematematik Grundbog A2, Af Clausen, Schomacker og Tolnø, 2018, 1.udgave, s.145-147 og s.175-179.
De nævnte sider er ikke gennemgået fra ende til anden, men indholdslisten ovenfor viser, hvad vi har været omkring i forløbet.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 6 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 12 Differentialligninger

Indhold:
Begrebet differentialligning
Fuldstændig og partikulær løsning til en differentialligning
Om at gøre prøve for at undersøge om en funktion er en løsning
Bestemmelse af tangentligninger ud fra en differentialligning
Linjeelementer og hældningsfelter
Modellering: bestemmelse af væksthastigheder ud fra differentialligninger og opstilling af differentialligninger ud fra sproglig beskrivelse
Gennemgang af differentialligning knyttet til eksponentiel vækst. Her er sætning 2.1 i Grundbog A3 (samme som sætning 8.1) gennemgået med bevis for både eksistens- og entydighedsdelen.
Gennemgang af differentialligning knyttet til forskudt eksponentiel vækst. Her er sætning 2.2 i Grundbog A3 (samme som sætning 8.2) gennemgået med bevis for både eksistens- og entydighedsdelen.
Behandling af den logistiske differentialligning og karakteristika ved både ligningen og dens løsning. Herunder bære-evnen og den maksimale væksthastighed. Selve løsningen er ikke bevist. Vi har taget udgangspunkt i differentialligningen i sætning 2.3b.
Kort om separable differentialligninger og om løsning af lineære differentialligninger af 1.orden.

Eleverne har i grupper udarbejdet en rapport om differentialligninger.

Det behandlede stof gennemgås s.21-64 i Gyldendals Gymnasiematematik Grundbog A3 af Flemming Clausen, Gert Schomacker og Jesper Tolnø, Gyldendal 2019.
De nævnte sider er ikke gennemgået fra ende til anden, men indholdslisten ovenfor viser, hvad vi har været omkring i forløbet.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 16 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 13 Vektorfunktioner

Indhold:
Om vektorfunktioner, koordinatfunktioner og parameterkurver/banekurver.
Bestemmelse af banekurvens skæring med koordinatakserne.
Hastighedsfunktion, fart, accelerationsfunktion og om bestemmelse af bevægelsesretning.
Bestemmelse af tangenter til banekurver med brug af parameterfremstilling og med brug af linjens ligning.
Bestemmelse af dobbeltpunkter og af vinkler mellem hastighedsvektorer i dobbeltpunkter og af vinkler mellem tangenter i dobbeltpunkter
Brug af differentialregning til at bestemme lodrette og vandrette tangenter til banekurver
Cirklen som banekurve for en vektorfunktion. (Bevis for dette er gennemført. Findes ikke tilsvarende i bogen)
Bevis for sætning om cirkel med centrum i origo: At hastighedsvektoren står ortogonalt på stedvektoren og at accelerationsvektoren er den modsatte af stedvektoren. (Sætningen findes ikke i bogen)

Det behandlede stof gennemgås s.69-87 i Gyldendals Gymnasiematematik Grundbog A3 af Flemming Clausen, Gert Schomacker og Jesper Tolnø, Gyldendal 2019.
Om cirklen som banekurve se formel 190 i formelsamlingen.
De nævnte sider er ikke gennemgået fra ende til anden, men indholdslisten ovenfor viser, hvad vi har været omkring i forløbet.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 18 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 14 Funktioner af to variable

Indhold:
Definition af funktioner af to variable
Niveaukurver, snitfunktioner og snitkurver
Partielt afledede, gradienter, dobbelt afledede og blandede afledede.
Stationære punkter og arten af disse

Som supplement til Grundbog A3 fra Gyldendal har vi brugt materiale hentet fra s.79-90 i MAT A3 Af Jens Carstensen m.fl., Systime 2019

Det behandlede stof gennemgås s.104-112 og s.116-120 i Gyldendals Gymnasiematematik Grundbog A3 af Flemming Clausen, Gert Schomacker og Jesper Tolnø, Gyldendal 2019.
De nævnte sider er ikke gennemgået fra ende til anden, men indholdslisten ovenfor viser, hvad vi har været omkring i forløbet.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 11 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 15 Normalfordelingen

Indhold:
Om normalfordelte stokastiske variable defineret ud fra middelværdi og spredning
Tæthedsfunktionen og dens graf
Fordelingsfunktionen og dens graf
Bestemmelse af intervalsandsynligheder i normalfordelingen med brug af integralregning.
Normale og exceptionelle udfald
Brug af QQplot til at undersøge om data er normalfordelte
Brug af QQplot til at undersøge om residualer er normalfordelte
Bestemmelse af 95 % konfidensinterval for hældningskoefficienten ved lineær regression.
Uegentlige integraler og bevis for sætning om at arealet under tæthedsfunktionen er 1. Dette gennemgås ikke i bogen.
Standardnormalfordelingen og sammenhængen mellem den og den generelle normalfordeling. Bevis for sætning om sammenhængen mellem fordelingsfunktionen for standardnormalfordelingen og den generelle fordelingsfunktion. Dette gennemgås ikke i bogen.

Det meste af det behandlede stof gennemgås s.119-144 i Gyldendals Gymnasiematematik Grundbog A3 af Flemming Clausen, Gert Schomacker og Jesper Tolnø, Gyldendal 2019.
De nævnte sider er ikke gennemgået fra ende til anden, men indholdslisten ovenfor viser, hvad vi har været omkring i forløbet.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 10 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 16 Forberedelsesmaterialet

Eleverne arbejder selvstændigt under vejledning med forberedelsesmaterialet om sandsynlighedsregning.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 5 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 17 Historisk vinkel på induktionsbeviser

Indhold:
Strukturen i et induktionsbevis.
To eksempler på induktionsbeviser. Nemlig bevis for sætningen om summen af de første n naturlige tal og bevis for sætningen om differentiation af x^n. Svarende til sætning 5.8 s.211-212 i Gyldendals Gymnasiematematik Grundbog A1 og sætning 9.1 s.240-241 i Gyldendals Gymnasiematematik Grundbog A2.
Karakteristika ved aksiomatisk deduktiv metode
Den historiske udvikling af induktionsbeviser med interesse for Pascal og hans bevis for binomialkoefficienten som en sum af to andre binomialkoefficienter.

Materiale:
s.238-242 i Gyldendals Gymnasiematematik Grundbog A2.

Wikipedia-artikel om induktionsbeviser: https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_induction

Matematik i isboden - Den Gemte Matematik i Pascals Trekant:
https://www.matkult.eu/matonline/index.php/2021/matematik-i-isboden/
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 3 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer