Holdet 3w-MAA (2025/26) - Undervisningsbeskrivelse

menu

Undervisningsbeskrivelse

Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser
Termin(er) 2023/24 - 2025/26
Institution Roskilde Gymnasium
Fag og niveau Matematik A
Lærer(e)
Hold 2023-MAA-1w (1w-MAA, 2w-MAA, 3w-MAA)

Oversigt over gennemførte undervisningsforløb
Titel 1 Vektorer i planen I og II
Titel 2 Funktionsbegrebet og potensregneregler
Titel 3 Eksponentiel vækst og logaritmefunktioner
Titel 4 Andengradspolynomier
Titel 5 Funktioner
Titel 6 Differentialregning
Titel 7 Regneregler for differentialregning
Titel 8 Monotoniforhold og optimering
Titel 9 Trigonometriske funktioner og harmoniske svingning
Titel 10 Integralregning
Titel 11 Differentialligninger
Titel 12 Vektorer 2 - linjer og cirkler
Titel 13 Funktioner af to variable
Titel 14 Vektorfunktioner
Titel 15 Normalfordeling
Titel 16 Polære funktioner
Titel 17 Beviser

Beskrivelse af de enkelte undervisningsforløb (1 skema for hvert forløb)
Titel 1 Vektorer i planen I og II

Kapitel 7
Definition af en vektor.
Regning med vektorer koordinater i planen, sum og differens samt multilpikation med et tal.
En vektor mellem to punkter. Beregning af en vektors længde samt afstanden mellem to punkter.

Kapitel 8
Definition af cos og sinus ud fra enhedscirklen.
Grundrelationen og den korte definition af tangens.
Brug af cos, sin og tan i en RETvinklet trekant.
MANGLER i 1. g: Definition af en retningsvinkel samt polære koordinater.

Kapitel 9
Definition af skalarprodukt
Regneregler for skalarprodukt
Vinkel mellem vektorer
Sammenhæng mellem skalarprodukt og type af vinkel.
Cosinusrelationerne
Projektion af vektor samt længden af en projiceret vektor
Tværvektor og determinant
Geometrisk fortolkning af en determinant
Areal af udspændt parallelogram og trekant
Sinusrelationerne
Kernestof:

vektorer i to dimensioner givet ved koordinatsæt (introduktion).
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 29,00 moduler
Dækker over: 29 moduler
Særlige fokuspunkter
  • Faglige - opstille geometriske modeller og løse geometriske problemer baseret på en analytisk beskrivelse af geometriske figurer og flader i koordinatsystemer samt udnytte dette til at svare på teoretiske og praktiske spørgsmål,
Væsentligste arbejdsformer
  • Gruppearbejde
  • Lærerstyret undervisning

Titel 2 Funktionsbegrebet og potensregneregler

Potensregneregler
Funktionsbegrebet, definitionsmængde, værdimængde.
Gaffelfunktion, sammensat funktion og omvendt funktion.
Indhold
Kernestof:

Skriftligt arbejde:
Titel Afleveringsdato
Aflevering 2 05-02-2024
Omfang Estimeret: 8,00 moduler
Dækker over: 8 moduler
Særlige fokuspunkter
  • Faglige - håndtere formler, kunne opstille og redegøre for symbolholdige beskrivelser af variabelsammenhænge og kunne anvende symbolholdigt sprog til at løse problemer med matematisk indhold
Væsentligste arbejdsformer
  • Gruppearbejde
  • Lærerstyret undervisning
  • Pararbejde

Titel 3 Eksponentiel vækst og logaritmefunktioner

Logaritmefunktioner:
Definition af log(x) og ln(x)
Regneregler for logaritmer med  bevis.
Ligning med logaritmer.

Eksponentialfunktion.
Definition af fremskriviningsfaktoren ud fra vækstraten
Definition af eksponentialfunktionen f(x)=b*a^x
Betydning af a - afhængigt om a er mindre eller større end 1.

Vækstegenskaber for en eksponentiel vækst:
En bestem absolut ændring af x-værdien medfører en (anden) bestemt relativ ændring af y-værdien.
En formel der kan bruges til at beregne den relative ændring af y-værdien, når x-værdien  vokser absolut.
Fordoblings- og halveringskonstanten.
To-punktsformlen for eksponentiel vækst.

Kernestof:
procent- og rentesregning, absolut og relativ ændring ...

funktionsbegrebet ...karakteristiske egenskaber ved følgende elementære funktioner og deres grafiske forløb: ... eksponential- ...og logaritmefunktioner.
Indhold
Kernestof:

Skriftligt arbejde:
Titel Afleveringsdato
Aflevering 3 20-03-2024
Omfang Estimeret: 12,00 moduler
Dækker over: 12 moduler
Særlige fokuspunkter
  • Faglige - håndtere formler, kunne opstille og redegøre for symbolholdige beskrivelser af variabelsammenhænge og kunne anvende symbolholdigt sprog til at løse problemer med matematisk indhold
Væsentligste arbejdsformer
  • Gruppearbejde
  • Lærerstyret undervisning
  • Pararbejde

Titel 4 Andengradspolynomier

Andengradspolynomiet med forskriften
f(x)=a*x^+b*x+c, a ikke lig 0, hvor d=b^2-4*a*c
Betydning af a, b, c og d for hvordan parablen ligger i koordinatsystemet.
Toppunktsformelen med bevis.
Formlen for faktorisering af et andengradspolynomium med bevis.
Endelig formel for, hvordan der bestemmes eventuelle nulpunkter for grafen med bevis.
Indhold
Kernestof:

Skriftligt arbejde:
Titel Afleveringsdato
Aflevering 4 26-04-2024
Matematikprøve 16-05-2024
Omfang Estimeret: 11,00 moduler
Dækker over: 11 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 5 Funktioner

Definition af funktioner, herunder begreberne definitions- og værdimængde.
De fire repræsentationer af en funktion.
Gaffelfunktion.
Funktioners monotoniforhold og ekstremum.
Globale og lokale ekstremum.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 7,00 moduler
Dækker over: 7 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 6 Differentialregning

Beskrivelse af en differentialkvotient.
Definition af kontinuitet og differentiabilitet.
Funktionstilvækst
Sekant og tangent, grafisk.
Grænseværdi, når sekanten går mod en tangent, hvor h går mod 0.
Definition af differenskvotient og differentialkvotient.
Tretrinsreglen som metode og denne anvendt op udvalgte funktioner.
Tangentligningen til en funktion i et punkt.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 4,00 moduler
Dækker over: 4 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 7 Regneregler for differentialregning

Regneregler for differentialkvotienter - med beviser:
- Sum
- Differens
- Produktreglen
- Gange en konstant på
Afledet funktion
Differentiation af sammensat funktion.
Differentiation af x^n, e^x, a^x. ln(x) alle med beviser.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 7,00 moduler
Dækker over: 7 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 8 Monotoniforhold og optimering

Monotonisætningerne.
Lokale og globale ekstrema.
Optimering både som metode og gennem eksempler.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 15,00 moduler
Dækker over: 15 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 9 Trigonometriske funktioner og harmoniske svingning

Radianer og grader.
Funktionerne sinus og cosinus, herunder deres periodiciteter.
Sammenhængen mellem graferne for sinus og cosinus.
Løsning af trigonometriske ligninger.
Differentiation af sin, cos og tan.
Harmoniske svingninger f(x)=a*sin(b*x+c)+k.
Betydningen af konstanterne for forløbet af en harmoniske svingning.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 10,00 moduler
Dækker over: 10 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 10 Integralregning

Stamfunktion og det ubestemte integral.
Ubestemt integral og konstanten k.
Integrationsprøven.
Stamfunktioner til udvalgte funktioner.
Integration ved substitution - uden sætning 5, men med en metode.
Definition af arealfunktionen.
Sætning: Arealfunktionen er stamfunktion til f med bevis.
Arealbestemmelse af en punktmængde.
Definition af Bestemt integral.
Regneregler for bestemt integral.
Areal mellem to grafer.
Betydning af grænserne i sammenhæng med det bestemte integrals fortegn.
Indskudsreglen.
Bestemmelse af kurvelængde med sætning og bevis.
Rumfang af et omdrejningslegeme.
Rumfang af et omdrejningslegeme mellem grafer.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 27,00 moduler
Dækker over: 27 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 11 Differentialligninger

Definition af en differentialligning
Linjeelementer og hældningsfelt.
Begreberne fuldstændig og partiel løsning.
Den fuldstændige løsning til følgende differentiallligninger
1) y'=k*y sætning og bevis.
2) y'=b-a*y sætning og bevis.
3) y'+a(x)*y=b(x) "Panserformlen", sætning uden bevis.
Logistisk vækst, første version y'=y*(b-a*y) uden bevis.
Anden version y'=a*y*(m-y) sætning og bevis.
Separation af variable, sætning og bevis.
Opstilling af differentialligningsmodeller ud fra en kontekst.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 17 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 12 Vektorer 2 - linjer og cirkler


Linjen på formen ax+by+c=0.
Linjens normalvektor.
Sætning 1 med bevis (side 137) om hvordan linjens ligning bestemmes ud fra et punkt på linjen og dens normalvektor. Og sætning 2 om aflæsning af normalvektoren ud fra linjens ligning.
Linjens parameterfremstilling samt sætning 3.
(Vektorfunktioner er sprunget over).
Skæring mellem linjer. Hvordan kan to linjer interagere sammen og i tilfælde af, at der er et skæringspunkt, hvordan dette skæringspunkt bestemmes. Her kan en eller begge linjer være enten være beskrevet med linjens ligning på formen ax+by+c=0 eller med en parameterfremstilling.
Ortogonale linjer og sætning 4 med bevis.
Projektion af et punkt på en linje udregnet på to måder.
Vinkel mellem linjer samt sætning 56.
Vinkel melklem linje og førsteakse samt sætning 6.
Afstand mellem punkt og linje samt sætning 6 med bevis.

Det var hvad vi nåede i 2. g. I 3. g begynder vi med cirklens ligning med mere:

Cirklens ligning
Kvadratkompletering
Skæring mellem en linje og en cirkel
Cirkeltangent.

Kernestof:

Vektorer i to dimensioner givet ved koordinatsæt, herunder skalarprodukt, determinant, projektion, vinkler, areal, linje, cirkel, skæringer og afstandsberegninger samt anvendelser af vektorbaseret koordinatgeometri til opstilling og løsning af plangeometriske problemer, herunder trigonometriske problemer
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 19,5 moduler
Særlige fokuspunkter
  • Faglige - – opstille geometriske modeller og løse geometriske problemer baseret på en analytisk beskrivelse af geometriske figurer og flader i koordinatsystemer samt udnytte dette til at svare på teoretiske og praktiske spørgsmål, herunder problemløsning med anvendelse af vektorfunktioner og funktioner af to variable – anvende matematiske værktøjsprogrammer til eksperimenter og begrebsudvikling samt symbolbehandling og problemløsning – operere med og redegøre for matematiske ræsonnementer og beviser samt de induktive og deduktive sider ved opbygningen af matematisk teori
Væsentligste arbejdsformer
  • Individuelt arbejde
  • Lærerstyret undervisning
  • Pararbejde

Titel 13 Funktioner af to variable

I forløbet har vi gennemgået følgende:

Definition af en funktion af to variable, definitionsmængde samt definitionen af grafen for en funktion af to variable.
De tre koordinatplaner samt niveaukurver og niveaukurvens ligning.
Definitionen af snitkurver og snitfunktioner.
Definition af partielt afledede samt sætning partielt afledede og tangenthældninger.
Definition og fortolkning af en gradient.
Tangentplanens ligning.

Definition af stationære punkter.

Lærerskift  --------------------------------------------------


Kernestof: funktioner af to variable, partielle afledede og grafisk forløb, herunder niveaukurver
Indhold
Kernestof:

Skriftligt arbejde:
Titel Afleveringsdato
Aflevering 2 06-10-2025
Aflevering 3 Del 1 11-11-2025
Aflevering 3 Del 2 11-11-2025
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 16 moduler
Særlige fokuspunkter
  • Faglige - håndtere formler, kunne opstille og redegøre for symbolholdige beskrivelser af variabelsammenhænge og kunne anvende symbolholdigt sprog til at løse problemer med matematisk indhold opstille geometriske modeller og løse geometriske problemer baseret på en analytisk beskrivelse af geometriske figurer og flader i koordinatsystemer samt udnytte dette til at svare på teoretiske og praktiske spørgsmål, herunder problemløsning med anvendelse af vektorfunktioner og funktioner af to variable anvende matematiske værktøjsprogrammer til eksperimenter og begrebsudvikling samt symbolbehandling og problemløsning
Væsentligste arbejdsformer
  • Individuelt arbejde
  • Lærerstyret undervisning
  • Pararbejde

Titel 14 Vektorfunktioner

Beviser:
Det skrå kast
Agnesis’ heks
Cirklen parameterfremstilling


Begreber:
Stedvektor
Vektorfunktion
Banekurve
Koordinatfunktioner
Dobbeltpunkt
Skæring med akserne
Hastighedsvektor
Accelerationsvektor
Tangentvektor
Lodrette og vandrette tangentvektorer
Tangent til banekurve
Fart
Cirklens parameterfremstilling
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 11 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer


Titel 16 Polære funktioner

Beviser:
Arealformlen

Begreber:
Rektangulære koordinater
Polære koordinater
Polære funktioner
Skæringspunkter mellem grafer
Areal
Kurvelængde
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 5 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 17 Beviser

Integralregning:
Arealfunktionen er en stamfunktion (repetition)
Rumfang af omdrejningslegeme

Normalfordeling:
F(x)=Phi((x-mu)/sigma)
E[X]=mu

Trigonometriske funktioner:
lim sin(x)/x=1
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 6 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer