Undervisningsbeskrivelse
Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser
|
Termin(er)
|
2023/24 - 2025/26
|
|
Institution
|
Vestjysk Gymnasium Tarm
|
|
Fag og niveau
|
Matematik A
|
|
Lærer(e)
|
Benjamin Klahn
|
|
Hold
|
2023 1sm MA (1sm MA, 2sm MA, 3sm MA)
|
Oversigt over gennemførte undervisningsforløb
Beskrivelse af de enkelte undervisningsforløb (1 skema for hvert forløb)
|
Titel
1
|
01. Eksponentielle funktioner
Repetition af:
- løsning af ligning og ligningssystemer samt reducering
- funktionsbegrebet og grafisk analyse
Kernestof gennemgået:
- Forskriften for eksponentielle funktioner og konstanternes betydning
- Grafisk forståelse af eksponentielle funktioner
- Eksponentiel regression
- 2-punktsformlernes anvendelse og beviser for disse
- Fordoblings- og halveringskonstanter med fokus på grafisk aflæsning og brug af formlen samt beviser for begge disse
- Forløb om logaritmer (ca. 3 moduler) med definition, grafisk sammenhæng mellem log(x) og 10^x samt ln(x) og e^x. Dertil beviser for log-regnereglerne.
NB! Kapitalfremskrivningsformlen er ikke gennemgået.
Kernestof Mat1 s.
|
|
Indhold
|
Kernestof:
|
|
Omfang
|
Estimeret:
13,00 moduler
Dækker over:
19,5 moduler
|
|
Særlige fokuspunkter
|
|
|
Væsentligste arbejdsformer
|
|
|
Titel
2
|
02. Vektorer del1
Kernestof til emnet:
- Definitionen af en vektor samt fokus på notation og nye fagbegreber
- Repræsentanter af vektorer og koordinatsæt for en vektor udspændt mellem 2 punkter
- Summen og differensen af to vektorer - både algebraisk og grafisk
- Ændring af vektorer (forlængelse, forkorte, parallelle og modsatrettede) med grafisk argumentation
- Længden af en vektor samt beviset for denne
- Regneregler for vektorer og beviser for disse bl.a. den kommutative og den assosiative lov
- Definition af skalarproduktet og regneregler for skalarproduktet samt beviser for disse (NB! Ingen geometrisk analyse af skalarproduktet udover kendskab til, at hvis skalarproduktet er nul, så er vektorerne ortogonale)
- Definition af tværvektoren
- Definition af determinanten og at denne kan bruges til arealberegning (intet bevis)
- Brugen af nSpire i forbindelse med emnet vektorer
Kernestof mat1 s. 90-109
|
|
Indhold
|
Kernestof:
|
|
Omfang
|
Estimeret:
11,00 moduler
Dækker over:
18 moduler
|
|
Særlige fokuspunkter
|
|
|
Væsentligste arbejdsformer
|
|
|
Titel
3
|
Kombinatorik og sandsynlighedsregning
- Kombinatorik og tællemetoder - Multiplikations- og additionsprincippet
- Permutationer - antal udtag af r blandt n elementer med rækkefølge
- Binomialkoefficienter - antal delmængder med r elementer fra mængde med n elementer
- Beregning af binomialkoefficienter og Pascals trekant
- Sandsynlighed af hændelse ved eksperiment defineret som frekvens hvormed hændelsen fremkommer - a priori og frekvensbaseret beregning af denne
- Sandsynlighedsfelter - additionsprincippet for disjunkte hændelser og multiplikationsprincippet for uafhængige hændelser
-Chancetræer
|
|
Indhold
|
Kernestof:
Skriftligt arbejde:
| Titel |
Afleveringsdato |
|
Afl. 4
|
14-03-2024
|
|
|
Omfang
|
Estimeret:
6,00 moduler
Dækker over:
9 moduler
|
|
Særlige fokuspunkter
|
|
|
Væsentligste arbejdsformer
|
|
|
Titel
4
|
Andengradspolynomier
Forskriften for et andengradspolynomium
Koefficienternes betydning for grafens udseende (b både i forhold til toppunktet og som tangenthældning ved x=0)
- Koordinater til toppunktet (med bevis)
- Løsningsformlen for andengradsligninger og diskriminantens betydning for antallet af løsninger (med bevis)
- Skæringspunkter af parabler og linjer
- Andegradsregression er IKKE gennemgået
|
|
Indhold
|
Kernestof:
|
|
Omfang
|
Estimeret:
5,00 moduler
Dækker over:
7,5 moduler
|
|
Særlige fokuspunkter
|
|
|
Væsentligste arbejdsformer
|
|
|
Titel
5
|
Trigonometri og vektorer
Trekantsberegninger
- Ensvinklede trekanter
- Pythagoras' Sætning (med bevis vha. ensvinklede trekanter)
- Cosinus, sinus og tangens ud fra enhedscirklen - anvendt til beregninger i retvinklede trekanter
- Arealformlen og cosinus- og sinusrelationerne for vilkårlige trekanter (med bevis uden brug af vektorer)
Vektorer
- Polariseringsidentiteten
- Definition af projektionsvektor, og bevis for formel for denne
- Vinklen mellem to vektorer og bevis herfor (vha. projektionsformlen - ikke med rotationsargument)
|
|
Indhold
|
Kernestof:
|
|
Omfang
|
Estimeret:
10,00 moduler
Dækker over:
6 moduler
|
|
Særlige fokuspunkter
|
|
|
Væsentligste arbejdsformer
|
|
|
Titel
6
|
Annuitetsopsparing og annuitetslån
- Princippet i annuitetsopsparinger og udledning af formel til bestemmelse af kapital
- Princippet i tilbagebetaling af annuitetslån og udledning af formel for ydelsen.
- Begreberne: fremtidig værdi, gennemsnitlig rente og nominel rente er gennemgået
|
|
Indhold
|
Kernestof:
|
|
Omfang
|
Estimeret:
6,00 moduler
Dækker over:
9 moduler
|
|
Særlige fokuspunkter
|
|
|
Væsentligste arbejdsformer
|
|
|
Titel
7
|
Potensfunktioner
- Definition af potensfunktioner
- De forskellige tilfælde af grafens udseende i forhold til værdien af a
- Topunktsformlen (med bevis)
- Procentvis vækst (med bevis)
|
|
Indhold
|
Kernestof:
|
|
Omfang
|
Estimeret:
4,00 moduler
Dækker over:
6 moduler
|
|
Særlige fokuspunkter
|
|
|
Væsentligste arbejdsformer
|
|
|
Titel
8
|
Funktionsteori
- Definitions- og værdimængden for funktioner, og bestemmelse af disse for konkrete funktioner som 1/(x-2), sqrt(x^2-2) og log(x+1)
- Lokale og globale ekstrema og monotoniforhold for funktioner
- sekanter og tangenter til grafer (og diskussion af "tangenten som grænseværdi for sekanterne")
- Stykkevist definerede funktioner er IKKE blevet gennemgået
Gennemgået stof svarende til side Kernestof 1, s. 210-217
|
|
Indhold
|
Kernestof:
|
|
Omfang
|
Estimeret:
6,00 moduler
Dækker over:
9 moduler
|
|
Særlige fokuspunkter
|
|
|
Væsentligste arbejdsformer
|
|
|
Titel
9
|
Differentialregning
- Definition af differentialkvotienten i et punkt, og grundlæggende sammenhænge mellem differentialkvotienten og funktionens vækstegenskaber
Regneregler for differentation:
- Afledning af konkrete funktioner, x, x^2, 1/x og sqrt(x) vha. tretrinsreglen
- Afledning af f+g, k*f (k konstant), f*g.
- Kædereglen gennemgået med bevis (Tilfældet g'(x0)=0 blev ikke gennemgået ordentligt)
- "Induktionsbevis" for (x^n)'=nx^(n-1)
- Afledning af e^x, log(x), sin(x) og cos(x) gennemgået uden bevis
Differentialregning og grafers forløb:
- Tangentligningen gennemgået (uden bevis)
- Bestemmelse af monotoniforhold vha. afledte funktion
- Bestemmelse af lokale og globale ekstrema - anvendt på nogle konkrete opgaver
Gennemgået stof svarende tilKernestof 2, s. 92-103, 110-117, 122-131
|
|
Indhold
|
Kernestof:
|
|
Omfang
|
Estimeret:
14,00 moduler
Dækker over:
21 moduler
|
|
Særlige fokuspunkter
|
|
|
Væsentligste arbejdsformer
|
|
|
Titel
10
|
Harmoniske svingninger
- Cosinus og sinus ud fra enhedscirklen, og identiteter for disse (f.eks. cos(x)=sin(pi/2-x))
- Omregning mellem radianer og grader
- Definition af harmonisk svingning
- betydningen af amplituden, vinkelfrekvensen, faseforskydningen og ligevægtsværdien (og perioden) for grafen af en harmonisk
- Formel til bestemmelse af vinkelfrekvensen ud fra perioden gennemgået med bevis.
Gennemgået stof svarende til s. 40-47 og Kernestof 3 s. 70 (bevis for periode-formlen)
|
|
Indhold
|
Kernestof:
|
|
Omfang
|
Estimeret:
3,00 moduler
Dækker over:
4,5 moduler
|
|
Særlige fokuspunkter
|
|
|
Væsentligste arbejdsformer
|
|
|
Titel
11
|
Binomialfordelingen
- Definition af stokastisk variabel som talværdi tillagt resultat ved tilfældigt eksperiment
- Definition af middelværdi, spredning og varians for stokastisk variabel
- Definition af binomialeksperiment og definition af binomialfordelt stokastisk variabel som antallet af "succes" ved binomialeksperiment
- Sandsynlighedsfordelingen for binomialfordelingen gennemgået i detalje for mønt- og terningekast, den generelle givet UDEN bevis
- Middelværdi og varians for binomialfordelt stokastisk variabel gennemgået uden bevis. Definition af normale udfald.
- Enkelt- og dobbeltsidet binomialtest med givent signifikansniveau
- Bestemmelse af kritiske mængde(r) vha. regneark, og CAS-kommando invBinom.
- Acceptmængde og sammenhæng med normale udfald.
- Normale udfald til bestemmelse af konfidensinterval.
Gennemgået stof svarend til Kernestof 2. s. 66-75, 82-87, 140-143
|
|
Indhold
|
Kernestof:
|
|
Omfang
|
Estimeret:
13,00 moduler
Dækker over:
24 moduler
|
|
Særlige fokuspunkter
|
|
|
Væsentligste arbejdsformer
|
|
|
Titel
12
|
Analytisk geometri
Repetition af vektorer:
- Projektionsformlen (med bevis)
- Vinklen mellem vektorer (med bevis)
Parameterfremstillinger for linjer:
- Opstilling af parameterfremstilling ud fra 2 punkter (eller et punkt og retningsvektorer)
- Skæringspunkter mellem linjer bestemt ved parameterfremstillinger (ligningssystemer er også blevet gennemgået)
- Vinklen mellem linjer giet ved parameterfremstillinger
- Parameterfremstillinger til at beskrive objekters bevægelse
Cirkler:
- Cirklens ligning
- Bestemmelse af tangenter til cirkler
- Skæringspunkter mellem linjer og cirkler, og skæringspunkter mellem to cirkler
Linjens ligning:
Beskrivelse af linjer ud fra normalvektorer,
Afstandsformlen fra punkt til linje (med bevis)
Gennemgået stof svarende til Kernestof 2, s. 158-177 fraregnet s. 173-174
|
|
Indhold
|
Kernestof:
|
|
Omfang
|
Estimeret:
19,00 moduler
Dækker over:
31,5 moduler
|
|
Særlige fokuspunkter
|
|
|
Væsentligste arbejdsformer
|
|
|
Titel
13
|
Integralregning
Stamfunktioner og ubestemte integraler:
- sum- og faktorregnereglen samt integration ved substitution
- entydighed af stamfunktioner op til konstanter
Bestemte integraler og arealer:
- integralregningens hovedsætning, og bevis for denne
- arealer mellem grafer, og arealer for negative funktioner
- indskudsreglen
Omdrejningslegemer:
- kegle, keglestub, kugle, donut som omdrejningelegeme
- Volumenberegninger: Bevis for integralregningens hovedsætning for omdrejningslegemer
- Hule omdrejningslegemer
Kurvelængde: Formlen til bestemmelse af kurvelængden for grafen af en funktion er blevet beskrevet og brugt, men er *ikke blevet bevist.
Beviser:
- Integralregningens hovedsætning
- Integralregningens hovedsætning for omdrejningslegemer
- sum-, differens- og konstantreglen for integraler
Litteratur: Kernestof 3 (1. udgave): 6-14, 24-35
|
|
Indhold
|
Kernestof:
|
|
Omfang
|
Estimeret:
13,00 moduler
Dækker over:
19,5 moduler
|
|
Særlige fokuspunkter
|
- Faglige
- Lytte
- Læse
- Skrive
- Formidling
- Almene (tværfaglige)
- Kommunikative færdigheder
- Personlige
- Selvstændighed
- Kreativitet
- IT
|
|
Væsentligste arbejdsformer
|
|
|
Titel
14
|
Normalfordelingen
Tætheds- og fordelingsfunktionen:
- Forskrift
- Karakteristiske egenskaber ved grafen: symmetri om middelværdien, maksimum ved middelværdien, sandsynligheder i intervaller som [,u-2*sigma, mu+sigma], normale- og exceptionelle udfald.
Sammenhæng mellem generelle normalfordelinger og standardnormalfordelingen:
- Identiteten F(x)=Phi((x-mu)/sigma), med bevis
Normalfordeling af data:
- Undersøgelse ud fra
1) histogram i forhold til tæthedsfunktion
2) sumkurve i forhold til fordelingsfunktion
3) qq-plot - med eksempel på hvordan det beregnes
- Middelværdi og spredning ud fra stikprøve (stikprøvevarians)
Lineær regression:
- Undersøgelse af residualer, og hvorvidt de er normalfordelte
- konfidensinterval for hældningskoefficient
Beviser:
- Identiteten F(x)=Phi((x-mu)/sigma)
Litteratur: Kernestof 3 (1. udgave): 46-57
|
|
Indhold
|
Kernestof:
|
|
Omfang
|
Estimeret:
8,00 moduler
Dækker over:
12 moduler
|
|
Særlige fokuspunkter
|
- Faglige
- Lytte
- Læse
- Søge information
- Skrive
- Diskutere
- Almene (tværfaglige)
- Analytiske evner
- Personlige
- Initiativ
- IT
- Regneark
|
|
Væsentligste arbejdsformer
|
|
|
Titel
15
|
Differentialligninger
Definition af differentialligninger, og hvad det vil sige at være en løsning:
- at gøre prøve
Opstilling af differentialligning ud fra mundtlig formulering
Linjeelementer og hældningsfelt:
- Beregning af linjeelementer og tangents ligning ud fra punkt og diff-ligning
- Hældningsfelter, og tegning af løsningskurver
Fuldstændige løsninger: Vi har bestemt den fuldstændige løsning, med bevis, for følgende differentialligninger:
1) Eksponentiel vækst, 2) forskudt eksponentiel vækst, 3) logistisk vækst
Karakteristiske egenskaber ved løsningskurverne til logistisk vækst er desuden blevet beskrevet (uden formelt bevis)
NB: Beviset for logistisk vækst er blevet gennemgået *uden brug af separation af variable
"Diskretisering" af differentialligning med SIR-modellen
*Separation af variable er ikke blevet gennemgået.
Kernestof 3: 100-111, 120-123, 126-127
Mat A3 STX: 173-174 (bevis for løsningen til logistisk vækst)
|
|
Indhold
|
Kernestof:
|
|
Omfang
|
Estimeret:
13,00 moduler
Dækker over:
21 moduler
|
|
Særlige fokuspunkter
|
- Faglige
- Lytte
- Læse
- Almene (tværfaglige)
- Analytiske evner
- Kommunikative færdigheder
- Overskue og strukturere
- IT
|
|
Væsentligste arbejdsformer
|
|
|
Titel
16
|
Vektorfunktioner
Indhold:
- Definition af vektorfunktioner: forskrift og banekurve
- Konkrete vektorfunktioner: linjer og cirkler
- bestemmelse af skæringspunkter med akser og bestemmelse af dobbeltpunkter
-hastighed, acceleration og fart. Hastighedsfunktionen blev beskrevet ved hjælp af "sekanter" (f(t0+h)-f(t0))/h, og det blev bevist, at hvis koordinatfunktionerne var differentiable i et tidspunkt t0, da ville det lede til den koordinatvist differentierede funktion f'(t0).
- tangenter til banekurver ud fra hastighedsfunktionen.
- Kurvelængde. *Overstrøget areal blev *ikke gennemgået.
- Vektorfunktioner motiveret som bevægende objekter. Vi beskrev banekurven for en cykelrefleks.
Beviser:
- Afledning af vektorfunktioner
- udledning af tangenters ligning.
Litteratur: Kernestof 3 (1. udgave): 84-91
Mat A3 STX: 218-222 (differentiabilitet af vektorfunktioner)
|
|
Indhold
|
Kernestof:
|
|
Omfang
|
Estimeret:
6,00 moduler
Dækker over:
13,5 moduler
|
|
Særlige fokuspunkter
|
- Faglige
- Lytte
- Læse
- Skrive
- Diskutere
- Formidling
- Selvrefleksion
- Almene (tværfaglige)
- Analytiske evner
|
|
Væsentligste arbejdsformer
|
|
|
Titel
17
|
Funktioner af to variable
I dette forløb er der blevet arbejdet *instrumentelt* med funktioner af to variable. Det vil sige at fokus har været på at regne opgaver ved at anvende teorien. Der er ikke blevet gennemgået nogen beviser.
Indhold:
- 3-dimensionelle koordinatsystemer, og hvordan man tegner punkter i dem
- Indføring af funktioner af to variable og deres grafer i 3-dimensionelle koordinatsystemer
- Niveaukurver: Motiveret vha. topografiske kort fra geografi. Bestemmelse af niveaukurver i simple tilfælde hvor det er en cirkel.
- Snitkurver: Forskriften af snitkurver. Anvendelse af snitkurver til beregning af kurvelængde
- partielt afledte og gradienten: Definition af partielt afledte (og dobbeltafledte) og beregning af disse. Definition af gradienten og motivation af den som "den stejleste retning" for grafen.
- Beregning af tangentplaner
- Stationære punkter og arten af dem
Litteratur: Kernestof 3 (1. udgave): 134-141
|
|
Indhold
|
Kernestof:
|
|
Omfang
|
Estimeret:
6,00 moduler
Dækker over:
10,5 moduler
|
|
Særlige fokuspunkter
|
- Faglige
- Lytte
- Læse
- Skrive
- Diskutere
|
|
Væsentligste arbejdsformer
|
|
|
Titel
18
|
Polære funktioner (forberedelsesmateriale)
Dette forløb har bestået af selvstændigt arbejde med dette års forberedelsesmateriale om polære funktioner. Eleverne arbejdede selvstændigt i 5 moduler og vi brugte til sidst 1 modul sammen til at arbejde med beviset for arealformlen.
Indhold:
- Repetition af polære koordinater
- Definition af polære funktioner (forskrift og graf)
- Skæringspunkter mellem polære funktioner
- Beregning af overstrøget areal (med bevis) samt areal mellem to grafer
- Beregning af kurvelængde (uden bevis)
Beviser:
- Overstrøget areal
Litteratur: Forberedelsesmateriale om polære funktioner
|
|
Indhold
|
Kernestof:
|
|
Omfang
|
Estimeret:
6,00 moduler
Dækker over:
9 moduler
|
|
Særlige fokuspunkter
|
- Faglige
- Lytte
- Læse
- Søge information
- Skrive
- Diskutere
- Formidling
- Selvrefleksion
- Almene (tværfaglige)
- Analytiske evner
- Kommunikative færdigheder
- Overskue og strukturere
- Sociale
- Samarbejdsevne
- Åbenhed og omgængelighed
- IT
|
|
Væsentligste arbejdsformer
|
|
|
Titel
19
|
Historisk forløb: Astronomi i antikken
I forløbet arbejdede vi med astronomiske målinger i antikken, og matematikken bag ved.
Vi tog udgangspunkt i videoen
https://www.youtube.com/watch?v=YdOXS_9_P4U
hvor følgende blev forklaret:
- jordens form (vha. skygger på månen) - sfæren karakteriseret ved dens skygger
- jordens radius
- månens radius og afstand til jorden
- solens radius og afstand til jorden
- det heliocentriske verdensbillede
Klassen blev delt i tre grupper som hhv. havde om jorden, månen og solen. Der blev udarbejdet en poster som forklarede grækernes målinger og matematikken bag. Desuden arbejdede eleverne med at finde kilder der understøttede forklaringerne i videoen.
Et vigtigt led i opmålingen af jorden, månen og solen var trigonometri. Derfor blev følgende gennemgået/repeteret med bevis:
- definition af cosinus og sinus vha. enhedscirklen
- cos og sin i retvinklede trekanter
- cosinusrelationerne
- Pythagoras' vha. ensvinklede trekanter
- Pythagoras' i 3d
Materiale:
https://www.youtube.com/watch?v=YdOXS_9_P4U
Kernestof 1 (2. udgave) 90-94, 98-99
Dokument om Pythagoras'
|
|
Indhold
|
Kernestof:
|
|
Omfang
|
Estimeret:
4,00 moduler
Dækker over:
6 moduler
|
|
Særlige fokuspunkter
|
- Faglige
- Lytte
- Læse
- Søge information
- Skrive
- Diskutere
- Projektarbejde
- Formidling
- Selvrefleksion
- Almene (tværfaglige)
- Analytiske evner
- Kommunikative færdigheder
- Overskue og strukturere
- Personlige
- Selvstændighed
- Initiativ
- Kreativitet
- Sociale
- Samarbejdsevne
- Åbenhed og omgængelighed
- IT
- Præsentationsgrafik
- Internet
|
|
Væsentligste arbejdsformer
|
|
|
Titel
20
|
Repetition
Repetition af udvalgte emner:
- Integralregning
- Normalfordelingen
- Vektorfunktioner
- Harmoniske svingninger
- Differentialligninger.
Fokus på sikkerhed i standardopgaver. Bevistræning og mundtlighed
|
|
Indhold
|
Kernestof:
|
|
Omfang
|
Estimeret:
6,00 moduler
Dækker over:
15 moduler
|
|
Særlige fokuspunkter
|
|
|
Væsentligste arbejdsformer
|
|
{
"S": "/lectio/78/stamdata/stamdata_edit_student.aspx?id=666\u0026prevurl=studieplan%2fuvb_hold_off.aspx%3fholdid%3d62780530927",
"T": "/lectio/78/stamdata/stamdata_edit_teacher.aspx?teacherid=666\u0026prevurl=studieplan%2fuvb_hold_off.aspx%3fholdid%3d62780530927",
"H": "/lectio/78/stamdata/stamdata_edit_hold.aspx?id=666\u0026prevurl=studieplan%2fuvb_hold_off.aspx%3fholdid%3d62780530927"
}