Holdet 2022 MA/ø - Undervisningsbeskrivelse - Lectio

Holdet 2022 MA/ø - Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse

Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser

Termin(er)	2022/23 - 2024/25
Institution	Stenhus Gymnasium
Fag og niveau	Matematik A
Lærer(e)
Hold	2022 MA/ø (1ø MA, 2ø MA, 3ø MA)

Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Titel 1	Eksponentielle udviklinger og logaritmer
Titel 2	Lineære udviklinger
Titel 3	Beskrivende statistik
Titel 4	Potensudviklinger
Titel 5	Historisk forløb - Euklid
Titel 6	Polynomier - særligt 2.gradspolynomier
Titel 7	Vektorregning og analytisk plangeometri
Titel 8	Funktioner af én variabel
Titel 9	Differentialregning
Titel 10	Lineær regression
Titel 11	Sandsynlighedsregning og statistik
Titel 12	Matematikkens deduktive væsen
Titel 13	Matematikkens historie
Titel 14	Integralregning
Titel 15	Funktioner af to variable
Titel 16	Differentialligninger
Titel 17	Historisk forløb - logistisk vækst
Titel 18	Vektorfunktioner
Titel 19	Forberedelsesmaterialet til skriftlig eksamen

Beskrivelse af de enkelte undervisningsforløb (1 skema for hvert forløb)

Titel 1	Eksponentielle udviklinger og logaritmer Til eleven Mundtlig: Udledning af kapitalfremskrivningsformlen Bevis for formlen for annuitetsopsparing Bevis for formlen for annuitetslån Bevis for potensregnereglerne Bevis for logaritmeregnereglerne Bevis for konstantformlerne (eksponentielle udviklinger) Bevis for formlen for fordoblingskonstanten Skriftlig: Formelsamlingen: 1-7, 18-30, 83-110 Mindstekravsopgaver: 11 30 31 32 35 42 66 68 72 85 88 Enkeltopgaver B-niveau: 2.D1.8 2.D1.36 1.D2.2 1.D2.3 2.D2.12 2.D2.14 2.D2.15 6.D2.10 6.D2.14 6.D2.15 Til elev og censor Faglige mål – operere med tal og repræsentationer af tal samt kritisk vurdere resultater af sådanne operationer – håndtere formler, kunne opstille og redegøre for symbolholdige beskrivelser af variabelsammenhænge og kunne anvende symbolholdigt sprog til at løse problemer med matematisk indhold – oversætte mellem de fire repræsentationsformer tabel, graf, formel og sproglig beskrivelse – anvende funktionsudtryk i opstilling af matematiske modeller på baggrund af datamateriale eller viden fra andre fagområder, kunne analysere givne matematiske modeller, foretage simuleringer samt fremskrivninger og forholde sig reflekterende til idealiseringer og rækkevidde af modeller – anvende matematiske værktøjsprogrammer til eksperimenter og begrebsudvikling samt symbolbehandling og problemløsning – operere med og redegøre for matematiske ræsonnementer og beviser samt de induktive og deduktive sider ved opbygningen af matematisk teori – demonstrere viden om matematikanvendelse inden for udvalgte områder – demonstrere viden om fagets metoder og identitet – beherske mindstekrav omfattende grundlæggende matematiske færdigheder og kompetencer inden for kernestoffet – kommunikere aktivt i, med og om matematik i både mundtlig og skriftlig formidling Kernestof - overslagsregning - regningsarternes hierarki - symbolmanipulation - det udvidede potensbegreb - ligningsløsning med algebraiske og grafiske metoder samt numeriske metoder med brug af matematiske værktøjsprogrammer - procent- og rentesregning, absolut og relativ ændring, renteformel - anvendelse af eksponentiel regression, herunder usikkerhedsbetragtninger og residualplot - karakteristiske egenskaber ved eksponentialfunktioner og deres grafiske forløb - karakteristiske egenskaber ved logaritmefunktioner og deres grafiske forløb - principielle egenskaber ved matematiske modeller, matematisk modellering Supplerende stof - bearbejdning af autentisk datamateriale - opsparings- og gældsannuitet Fra undervisningsvejledningen 10-talspotenser Rationale tal som brøk og decimaltal Potensregneregler Opstille modeller, herunder indføre passende variable på baggrund af sproglige beskrivelser, punkter eller en tabel Kapitalfremskrivningsformlen, herunder redegøre for start- og slutkapital, rentefod og terminer Sammenhæng mellem vækstrate og fremskrivningsfaktor Indekstal, herunder begrebet basisår Import af store datasæt Opstille modeller ved hjælp af eksponentiel regression, enten direkte eller på logaritmisk transformerede data (valgfrit), og i forbindelse hermed tegne det tilhørende residualplot Karakteristiske egenskaber ved eksponentielle funktioner og disses grafiske forløb (herunder konstanternes betydning) Asymptotiske forløb i forbindelse med eksponentielle udviklinger Fremskrivningsfaktor, vækstrate, fordoblings- og halveringskonstant og sammenhængen mellem a^x og e^(kx) Supplerende på C-niveau – bearbejdning af autentisk datamateriale – opsparings- og gældsannuitet Indgående viden om titalslogaritmen og den naturlige logaritme, herunder logaritmeregnereglerne Det udvidede potensbegreb Løsning af ligninger ved hjælp af eksponential- og logaritme funktioner Generelle færdigheder og kompetencer Talforståelse Regnearters hierarki Beregninger i almindelighed Vurdere rimeligheden af fundne resultatet. Brøkregning Parentesregler (herunder kvadratsætningerne) Håndterer og opstille formler Simpel ligningsløsning Bevidsthed og begrænsningerne forbundet med grafisk ligningsløsning Forskellen på eksakt og tilnærmet værdi Betydningen af numerisk værdi Forskel mellem regneforskrift og ligning Grafisk løsning af optimeringsproblemer Modellers begrænsninger og rækkevidde Absolut og relativ afvigelse mellem modelværdi og virkelighed Løsning af ligningssystemer Anvende nulreglen Supplerende på B-niveau – forløb med vægt på bevisførelse inden for udvalgte emner – matematikhistoriske perspektiver på udvalgte emner – inddragelse og diskussion af videnskabsteoretiske spørgsmål og matematiske metoder
Indhold	Kernestof: Carstensen, Frandsen og Lorenzen (2019): MAT A1, Systime; sider: 50-57, 72-77, 83-92, 100-118
Omfang	Estimeret: Ikke angivet Dækker over: 33 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 2	Lineære udviklinger Faglige mål – operere med tal og repræsentationer af tal samt kritisk vurdere resultater af sådanne operationer – håndtere formler, kunne opstille og redegøre for symbolholdige beskrivelser af variabelsammenhænge og kunne anvende symbolholdigt sprog til at løse problemer med matematisk indhold – oversætte mellem de fire repræsentationsformer tabel, graf, formel og sproglig beskrivelse – anvende funktionsudtryk i opstilling af matematiske modeller på baggrund af datamateriale eller viden fra andre fagområder, kunne analysere givne matematiske modeller, foretage simuleringer samt fremskrivninger og forholde sig reflekterende til idealiseringer og rækkevidde af modeller – anvende matematiske værktøjsprogrammer til eksperimenter og begrebsudvikling samt symbolbehandling og problemløsning – operere med og redegøre for matematiske ræsonnementer og beviser samt de induktive og deduktive sider ved opbygningen af matematisk teori – demonstrere viden om matematikanvendelse inden for udvalgte områder – demonstrere viden om fagets metoder og identitet – beherske mindstekrav omfattende grundlæggende matematiske færdigheder og kompetencer inden for kernestoffet – kommunikere aktivt i, med og om matematik i både mundtlig og skriftlig formidling Kernestof - overslagsregning - regningsarternes hierarki - symbolmanipulation - ligefrem proportionalitet - ligningsløsning med algebraiske og grafiske metoder samt numeriske metoder med brug af matematiske værktøjsprogrammer - anvendelse af lineær regression, herunder usikkerhedsbetragtninger og residualplot - karakteristiske egenskaber ved lineære funktioner og deres grafiske forløb - principielle egenskaber ved matematiske modeller, matematisk modellering Supplerende stof - bearbejdning af autentisk datamateriale Fra undervisningsvejledningen Ligefrem proportionalitet Omvendt proportionalitet Opstille modeller, herunder indføre passende variable på baggrund af sproglige beskrivelser, punkter eller en tabel Import af store datasæt Opstille modeller ved hjælp af lineær regression, og i forbindelse hermed tegne det tilhørende residualplot Foretage residualberegninger, identificering af den observation der repræsenterer den største afvigelse fra modellen), vurdere afvigelsernes størrelse i forhold til modelværdierne, kvalitativ vurdere hvorvidt der er systematik i residualafvigelserne Karakteristiske egenskaber ved lineære funktioner og disses grafiske forløb (herunder konstanternes betydning) Supplerende på C-niveau – bearbejdning af autentisk datamateriale Generelle færdigheder og kompetencer Talforståelse Regnearters hierarki Beregninger i almindelighed Vurdere rimeligheden af fundne resultatet. Brøkregning Parentesregler (herunder kvadratsætningerne) Håndterer og opstille formler Simpel ligningsløsning Bevidsthed og begrænsningerne forbundet med grafisk ligningsløsning Forskellen på eksakt og tilnærmet værdi Betydningen af numerisk værdi Forskel mellem regneforskrift og ligning Grafisk løsning af optimeringsproblemer Modellers begrænsninger og rækkevidde Absolut og relativ afvigelse mellem modelværdi og virkelighed Løsning af ligningssystemer Anvende nulreglen Supplerende på B-niveau – forløb med vægt på bevisførelse inden for udvalgte emner – matematikhistoriske perspektiver på udvalgte emner – inddragelse og diskussion af videnskabsteoretiske spørgsmål og matematiske metoder
Indhold
Omfang	Estimeret: Ikke angivet Dækker over: 0 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 3	Beskrivende statistik Faglige mål – operere med tal og repræsentationer af tal samt kritisk vurdere resultater af sådanne operationer – anvende matematiske værktøjsprogrammer til problemløsning – demonstrere viden om matematikanvendelse inden for udvalgte områder – beherske mindstekrav omfattende grundlæggende matematiske færdigheder og kompetencer inden for kernestoffet – kommunikere aktivt i, med og om matematik i både mundtlig og skriftlig formidling Kernestof - overslagsregning - statistiske metoder til håndtering af diskret og grupperet datamateriale, grafisk præsentation af statistisk materiale, stikprøve og empiriske statistiske deskriptorer Supplerende stof - bearbejdning af autentisk datamateriale Fra undervisningsvejledningen Kvalitativ forståelse af begrebet repræsentativitet Forskellen på statistiske ræsonnementer og matematiske ræsonnementer Betydningen af stokastiske processer Kunne anvende værktøjsprogrammer til behandling af stikprøver, herunder én-variabel statistik Konkret tolkning af statistiske deskriptorer Diskret og grupperet datamateriale Simple statistiske deskriptorer, herunder hyppighed, frekvens, kumuleret frekvens, middelværdi, fraktiler, median, kvartilsæt, kvartilbredde, variationsbredde, stikprøvespredning (denne regnet i et værktøjsprogram) samt maksimum og minimum Undersøge om et datasæt indeholder outliers, og er højre- eller venstreskæv Simple grafiske repræsentationer af data, herunder boksplot og sumkurve Beskrive og sammenligne grafiske repræsentationer Import af store datasæt Supplerende på C-niveau – bearbejdning af autentisk datamateriale Generelle færdigheder og kompetencer Talforståelse Regnearters hierarki Beregninger i almindelighed Vurdere rimeligheden af fundne resultatet. Brøkregning Parentesregler (herunder kvadratsætningerne) Håndterer og opstille formler Simpel ligningsløsning Bevidsthed og begrænsningerne forbundet med grafisk ligningsløsning Forskellen på eksakt og tilnærmet værdi Betydningen af numerisk værdi Forskel mellem regneforskrift og ligning Grafisk løsning af optimeringsproblemer Modellers begrænsninger og rækkevidde Absolut og relativ afvigelse mellem modelværdi og virkelighed Løsning af ligningssystemer Anvende nulreglen Supplerende på B-niveau – forløb med vægt på bevisførelse inden for udvalgte emner – matematikhistoriske perspektiver på udvalgte emner – inddragelse og diskussion af videnskabsteoretiske spørgsmål og matematiske metoder
Indhold
Omfang	Estimeret: Ikke angivet Dækker over: 0 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 4	Potensudviklinger Til eleven Mundtlig: Bevis for konstantformlerne (potensudviklinger) Skriftlig: Formelsamlingen: 8-9 Mindstekravsopgaver: 9 10 23 73 86 89 Til elev og censor Faglige mål – operere med tal og repræsentationer af tal samt kritisk vurdere resultater af sådanne operationer – håndtere formler, kunne opstille og redegøre for symbolholdige beskrivelser af variabelsammenhænge og kunne anvende symbolholdigt sprog til at løse problemer med matematisk indhold – oversætte mellem de fire repræsentationsformer tabel, graf, formel og sproglig beskrivelse – anvende funktionsudtryk i opstilling af matematiske modeller på baggrund af datamateriale eller viden fra andre fagområder, kunne analysere givne matematiske modeller, foretage simuleringer samt fremskrivninger og forholde sig reflekterende til idealiseringer og rækkevidde af modeller – anvende matematiske værktøjsprogrammer til eksperimenter og begrebsudvikling samt symbolbehandling og problemløsning – operere med og redegøre for matematiske ræsonnementer og beviser samt de induktive og deduktive sider ved opbygningen af matematisk teori – demonstrere viden om matematikanvendelse inden for udvalgte områder – demonstrere viden om fagets metoder og identitet – beherske mindstekrav omfattende grundlæggende matematiske færdigheder og kompetencer inden for kernestoffet – kommunikere aktivt i, med og om matematik i både mundtlig og skriftlig formidling Kernestof - regningsarternes hierarki - symbolmanipulation - ligefrem og omvendt proportionalitet - ligningsløsning med algebraiske og grafiske metoder samt numeriske metoder med brug af matematiske værktøjsprogrammer - potens regression, herunder usikkerhedsbetragtninger og residualplot - karakteristiske egenskaber ved potensfunktioner og deres grafiske forløb - principielle egenskaber ved matematiske modeller, matematisk modellering Supplerende stof - bearbejdning af autentisk datamateriale Fra undervisningsvejledningen Omvendt proportionalitet Opstille modeller, herunder indføre passende variable på baggrund af sproglige beskrivelser, punkter eller en tabel. Import af store datasæt Opstille modeller ved hjælp af potensregression, enten direkte eller på logaritmisk transformerede data (valgfrit), og i forbindelse hermed tegne det tilhørende residualplot - ikke en del af skriftlig eksamen Karakteristiske egenskaber ved potensfunktioner og disses grafiske forløb (herunder konstanternes betydning) Asymptotiske forløb i forbindelse med potensudviklinger Procent-procent sammenhængen - ikke en del af skriftlig eksamen Supplerende på C-niveau – bearbejdning af autentisk datamateriale Generelle færdigheder og kompetencer Talforståelse Regnearters hierarki Beregninger i almindelighed Vurdere rimeligheden af fundne resultatet. Brøkregning Parentesregler (herunder kvadratsætningerne) Håndterer og opstille formler Simpel ligningsløsning Bevidsthed og begrænsningerne forbundet med grafisk ligningsløsning Forskellen på eksakt og tilnærmet værdi Betydningen af numerisk værdi Forskel mellem regneforskrift og ligning Grafisk løsning af optimeringsproblemer Modellers begrænsninger og rækkevidde Absolut og relativ afvigelse mellem modelværdi og virkelighed Løsning af ligningssystemer Anvende nulreglen Supplerende på B-niveau – forløb med vægt på bevisførelse inden for udvalgte emner – matematikhistoriske perspektiver på udvalgte emner – inddragelse og diskussion af videnskabsteoretiske spørgsmål og matematiske metoder
Indhold	Kernestof: Carstensen, Frandsen og Lorenzen (2019): MAT A1, Systime; sider: 124-140
Omfang	Estimeret: Ikke angivet Dækker over: 9 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 5	Historisk forløb - Euklid Eleverne præsenteres for den aksiomatisk deduktive metode via Euklids Elementerne. Vigtige begreber er i den forbindelse: Definitioner, aksiomer, postulater, sætninger og beviser. Eleverne arbejder med de første simple sætninger i Elementerne, idet der er særligt fokus på stringent matematisk argumentation.
Indhold	Kernestof: Clausen, Flemming m.fl. (2010): Gyldendels Gymnasiematematik B2 - Grundbog; sider: 153-166 Glunk, Claus m.fl.: QED, Gyldendal 2006; sider: 53-57
Omfang	Estimeret: Ikke angivet Dækker over: 9 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 6	Polynomier - særligt 2.gradspolynomier Til eleven Mundtlig: Bevis for formlen for parablens skæringspunkt med y-aksen Bevis for ligningen for tangenten til parablen i skæringspunktet med y-aksen Bevis for løsningsformlen til andengradsligninger Bevis for toppunktsformlen Bevis for faktoriseringsformlen Skriftlig: Formelsamlingen: 74-76, 80-82, 111-115 Mindstekravsopgaver: 2 3 37 50 52 55 56 81 Enkeltopgaver B-niveau: 1.D1.15 1.D1.16 1.D1.18 1.D1.19 1.D1.20 1.D1.21 1.D1.22 1.D1.23 2.D1.9 2.D1.10 2.D1.11 2.D1.12 2.D1.13 2.D1.14 2.D1.15 2.D1.16 2.D1.17 2.D1.18 2.D1.19 2.D1.21 2.D1.30 2.D1.31 2.D1.32 2.D1.37 2.D1.38 2.D1.39 2.D1.40 2.D1.41 2.D1.42 2.D1.43 2.D1.45 2.D1.46 6.D2.9 6.D2.12 6.D2.13 Enkeltopgaver A-niveau: 1.D1.5 1.D1.6 1.D1.7 1.D1.8 1.D1.9 1.D1.13 1.D1.18 2.D1.29 Til elev og censor Faglige mål – operere med tal og repræsentationer af tal samt kritisk vurdere resultater af sådanne operationer – håndtere formler, kunne opstille og redegøre for symbolholdige beskrivelser af variabelsammenhænge og kunne anvende symbolholdigt sprog til at løse problemer med matematisk indhold – oversætte mellem de fire repræsentationsformer tabel, graf, formel og sproglig beskrivelse – anvende funktionsudtryk i opstilling af matematiske modeller på baggrund af datamateriale eller viden fra andre fagområder, kunne analysere givne matematiske modeller, foretage simuleringer samt fremskrivninger og forholde sig reflekterende til idealiseringer og rækkevidde af modeller – anvende matematiske værktøjsprogrammer til eksperimenter og begrebsudvikling samt symbolbehandling og problemløsning – operere med og redegøre for matematiske ræsonnementer og beviser samt de induktive og deduktive sider ved opbygningen af matematisk teori – demonstrere viden om matematikanvendelse inden for udvalgte områder, herunder viden om anvendelse i behandling af en mere kompleks problemstilling – demonstrere viden om fagets metoder og identitet – beherske mindstekrav omfattende grundlæggende matematiske færdigheder og kompetencer inden for kernestoffet – kommunikere aktivt i, med og om matematik i både mundtlig og skriftlig formidling Kernestof - regningsarternes hierarki - symbolmanipulation - ligningsløsning med algebraiske og grafiske metoder samt numeriske metoder med brug af matematiske polynomiel regression, herunder usikkerhedsbetragtninger og residualplot - karakteristiske egenskaber ved polynomier og deres grafiske forløb - principielle egenskaber ved matematiske modeller, matematisk modellering Supplerende stof - bearbejdning af autentisk datamateriale Fra undervisningsvejledningen Opstille modeller ved hjælp af polynomiel regression, og i forbindelse hermed tegne det tilhørende residualplot Løsning af 2.gradsligninger samt ligninger, der involverer indgående kendskab til egenskaberne ved andengradspolynomier Funktionsforskrifter indeholdende parametre Indgående viden om 2.gradspolynomier, herunder rødder, faktoriseringsformlen, konstanternes og diskriminantens betydning for grafens beliggenhed Overordnet viden om højeregradspolynomier, herunder rødder, faktorisering, sammenhængen mellem grad og antallet af rødder Supplerende på B-niveau - Betingelser for løsning af andengradsligningen samt udledningen af løsningsformlen for denne Generelle færdigheder og kompetencer Talforståelse Regnearters hierarki Beregninger i almindelighed Vurdere rimeligheden af fundne resultatet. Brøkregning Parentesregler (herunder kvadratsætningerne) Håndterer og opstille formler Simpel ligningsløsning Bevidsthed og begrænsningerne forbundet med grafisk ligningsløsning Forskellen på eksakt og tilnærmet værdi Betydningen af numerisk værdi Forskel mellem regneforskrift og ligning Grafisk løsning af optimeringsproblemer Modellers begrænsninger og rækkevidde Absolut og relativ afvigelse mellem modelværdi og virkelighed Løsning af ligningssystemer Anvende nulreglen Supplerende på B-niveau – forløb med vægt på bevisførelse inden for udvalgte emner – matematikhistoriske perspektiver på udvalgte emner – inddragelse og diskussion af videnskabsteoretiske spørgsmål og matematiske metoder
Indhold	Kernestof: Carstensen, Frandsen og Lorenzen (2019): MAT A2, Systime; sider: 10-32
Omfang	Estimeret: Ikke angivet Dækker over: 27 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 7	Vektorregning og analytisk plangeometri Til eleven Mundtlig: 1. Vektorregning - vinkel mellem vektorer 2. Vektorregning - projektion af vektor på vektor 3. Vektorregning - afstand mellem punkt og linje Skriftlig: Formelsamlingen: 31-33, 37-38, 42-61, 66-73 Mindstekravsopgaver: 1 7 17 18 19 21 22 25 28 34 36 54 62 Enkeltopgaver B-niveau: 1.D1.17 3.D1.1 3.D1.2 3.D1.3 3.D1.4 3.D1.5 3.D1.6 3.D1.7 3.D1.8 3.D1.9 3.D1.10 3.D1.11 3.D1.12 3.D1.13 3.D1.14 3.D1.15 3.D1.16 3.D1.17 3.D1.18 3.D1.19 3.D1.20 3.D1.21 3.D1.22 3.D1.23 3.D1.24 3.D1.25 3.D1.26 3.D1.27 3.D1.28 3.D1.29 3.D1.30 3.D1.31 3.D1.32 3.D1.33 3.D1.34 3.D1.35 3.D1.36 3.D1.37 3.D1.38 3.D1.39 3.D1.40 3.D1.41 3.D1.42 3.D1.43 3.D1.44 3.D1.45 3.D1.46 3.D1.47 3.D2.1 3.D2.2 3.D2.3 3.D2.4 3.D2.5 3.D2.6 3.D2.7 3.D2.8 3.D2.10 3.D2.11 3.D2.12 3.D2.13 3.D2.14 3.D2.15 3.D2.16 3.D2.17 3.D2.18 3.D2.19 3.D2.20 3.D2.21 3.D2.22 3.D2.23 3.D2.24 3.D2.25 3.D2.26 3.D2.27 3.D2.28 3.D2.29 3.D2.30 3.D2.31 3.D2.32 3.D2.33 3.D2.34 3.D2.35 3.D2.36 3.D2.37 3.D2.38 3.D2.39 3.D2.40 3.D2.41 6.D2.5 6.D2.7 Til elev og censor Faglige mål – operere med tal og repræsentationer af tal samt kritisk vurdere resultater af sådanne operationer – opstille geometriske modeller og løse geometriske problemer baseret på en analytisk beskrivelse af geometriske figurer og flader i koordinatsystemer samt udnytte dette til at svare på teoretiske og praktiske spørgsmål – anvende matematiske værktøjsprogrammer til eksperimenter og begrebsudvikling samt symbolbehandling og problemløsning – operere med og redegøre for matematiske ræsonnementer og beviser samt de induktive og deduktive sider ved opbygningen af matematisk teori – demonstrere viden om matematikanvendelse inden for udvalgte områder, herunder viden om anvendelse i behandling af en mere kompleks problemstilling – demonstrere viden om fagets metoder og identitet – beherske mindstekrav omfattende grundlæggende matematiske færdigheder og kompetencer inden for kernestoffet – kommunikere aktivt i, med og om matematik i både mundtlig og skriftlig formidling Kernestof - regningsarternes hierarki - symbolmanipulation - ligningsløsning med algebraiske og grafiske metoder samt numeriske metoder med brug af matematiske værktøjsprogrammer - vektorer i to dimensioner givet ved koordinatsæt, herunder skalarprodukt, determinant, projektion, vinkler, areal, linje, cirkel, skæringer og afstandsberegninger samt anvendelser af vektorbaseret koordinatgeometri til opstilling og løsning af plangeometriske problemer, herunder trigonometriske problemer - principielle egenskaber ved matematiske modeller, matematisk modellering Supplerende stof Fra undervisningsvejledningen Løse trigonometriske og plangeometriske problemer ved hjælp af vektorberegninger Cosinus og sinus som koordinater til enhedsvektorer Tangens som forholdet mellem sinus og cosinus Nulvektor, enhedsvektor, stedvektor og forbindelsesvektor Simple overgangsformler Beregninger i retvinklede trekanter Simple regneregler for vektorer, herunder addition, subtraktion, og ”gange en konstant” Længden af en vektor, tværvektor, skalarprodukt, determinant, vinkel mellem vektorer, parallelle og ortogonale vektorer, projektion af vektor på vektor Indlægge geometriske problemstillinger i et koordinatsystem Analytisk beskrivelse af linjer både ved parameterfremstilling og ligning Analytisk beskrivelse af cirkler ved ligning Kvadratkomplettering Ligninger for cirkeltangenter Omskrivninger mellem linjer ligning og parameterfremstilling Skæringspunkt mellem linjer Skæringspunkt mellem linjer og cirkler Vinkler mellem linjer Afstand fra punkt til linje Sammenhæng mellem linjens hældningsvinkel (vinkel med førsteaksen) og linjens hældningskoefficient Generelle færdigheder og kompetencer Talforståelse Regnearters hierarki Beregninger i almindelighed Vurdere rimeligheden af fundne resultatet Brøkregning Parentesregler Håndtere og opstille formler Simpel ligningsløsning Bevidsthed og begrænsningerne forbundet med grafisk ligningsløsning Forskellen på eksakt og tilnærmet værdi Betydningen af numerisk værdi Forskel mellem regneforskrift og ligning Løsning af ligningssystemer Anvende nulreglen Supplerende på B-niveau – forløb med vægt på bevisførelse inden for udvalgte emner – inddragelse og diskussion af videnskabsteoretiske spørgsmål og matematiske metoder
Indhold	Kernestof: Carstensen, Frandsen og Lorenzen (2019): MAT A1, Systime; sider: 150-169, 178-187, 206-215, 220-233
Omfang	Estimeret: Ikke angivet Dækker over: 44 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 8	Funktioner af én variabel Til eleven Mundtlig: Der er ingen beviser til dette emne. Skriftlig: Formelsamlingen: Mindstekravsopgaver: 5 16 40 46 48 49 53 64 65 Enkeltopgaver B-niveau: 2.D1.1 2.D1.2 2.D1.3 2.D1.4 2.D1.5 2.D1.6 2.D1.22 2.D1.23 2.D1.25 2.D1.26 2.D1.27 2.D1.28 2.D1.29 2.D1.33 2.D1.34 2.D1.35 2.D1.44 2.D1.47 2.D1.48 1.D2.1 2.D2.1 2.D2.2 2.D2.4 2.D2.5 2.D2.6 2.D2.7 2.D2.8 2.D2.9 2.D2.10 2.D2.11 2.D2.13 2.D2.18 2.D2.19 6.D2.16 Enkeltopgaver A-niveau: 2.D1.1 2.D1.2 2.D2.3 2.D2.4 2.D1.5 2.D1.6 2.D1.7 2.D1.8 2.D1.9 2.D1.10 2.D1.11 2.D1.12 2.D1.30 2.D1.31 2.D1.32 Faglige mål – operere med tal og repræsentationer af tal samt kritisk vurdere resultater af sådanne operationer – håndtere formler, kunne opstille og redegøre for symbolholdige beskrivelser af variabelsammenhænge og kunne anvende symbolholdigt sprog til at løse problemer med matematisk indhold – oversætte mellem de fire repræsentationsformer tabel, graf, formel og sproglig beskrivelse – anvende funktionsudtryk og udtryk for afledede funktioner i opstilling af matematiske modeller på baggrund af datamateriale eller viden fra andre fagområder, kunne analysere givne matematiske modeller, foretage simuleringer samt fremskrivninger og forholde sig reflekterende til idealiseringer og rækkevidde af modeller – anvende matematiske værktøjsprogrammer til eksperimenter og begrebsudvikling samt symbolbehandling og problemløsning – operere med og redegøre for matematiske ræsonnementer og beviser samt de induktive og deduktive sider ved opbygningen af matematisk teori – demonstrere viden om matematikanvendelse inden for udvalgte områder, herunder viden om anvendelse i behandling af en mere kompleks problemstilling – demonstrere viden om fagets metoder og identitet – beherske mindstekrav omfattende grundlæggende matematiske færdigheder og kompetencer inden for kernestoffet – kommunikere aktivt i, med og om matematik i både mundtlig og skriftlig formidling Kernestof - regningsarternes hierarki - symbolmanipulation - ligningsløsning med algebraiske og grafiske metoder samt numeriske metoder med brug af matematiske værktøjsprogrammer, tilnærmet og eksakt værdi samt absolut værdi - funktionsbegrebet, sammensat funktion, stykkevist defineret funktion, invers funktion Supplerende stof Fra undervisningsvejledningen Definitions- og værdimængde Vandrette og lodrette parallelforskydninger, herunder hvordan sådanne forskydninger har betydning for funktionens forskrift Eksempler på kontinuerte og ikke kontinuerte funktioner Relationer der ikke er funktioner Monotoniforhold C-niveau: Andengradspolynomier, titalslogaritmen og den naturlige logaritme behandles kun grafisk og kun i forbindelse med modellering C-niveau: Simpel grafisk funktionsundersøgelse i en anvendelsesorienteret sammenhæng af modeller givet på et begrænset interval, herunder bestemmelse af ekstrema, monotoniforhold samt tangentligninger Supplerende på C-niveau - fortolke tangentens hældning som en væksthastighed i en forelagt matematisk model - bestemme tangentens hældningskoefficient ved vha. CAS eller ved aflæsning Eksempler på differentiable og ikke differentiable funktioner Sammensatte funktioner og stykkevist definerede funktioner Kendskab til begrebet invers funktion, som en omvendt proces Generelle færdigheder og kompetencer Forskel mellem regneforskrift og ligning
Indhold	Kernestof: Carstensen, Frandsen og Lorenzen (2019): MAT A1, Systime; sider: 8-42
Omfang	Estimeret: Ikke angivet Dækker over: 3 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 9	Differentialregning Til eleven Mundtlig: Bevis for differentialkvotienten for f(x)=k Bevis for differentialkvotienten for f(x)=a·x Bevis for differentialkvotienten for f(x)=x^2 Bevis for differentialkvotienten for f(x)=√x Bevis for differentialkvotienten for f(x)=1/x Bevis for differentialkvotienten for f(x)=x^3 Bevis for differentialkvotienten for f(x)=x^n Bevis for differentialkvotienten for h(x)=f(x)+g(x) Bevis for differentialkvotienten for p(x)=f(x)·g(x) Bevis for differentialkvotienten for h(x)=1/g(x) Bevis for differentialkvotienten for h(x)=f(x)/g(x) Skriftlig: Formelsamlingen: 116-147 Mindstekravsopgaver: 4 43 60 Enkeltopgaver B-niveau: 2.D1.49 2.D1.50 2.D1.51 2.D1.52 2.D1.53 2.D1.54 2.D1.55 2.D1.56 2.D1.57 2.D1.58 2.D1.59 2.D1.60 2.D1.61 2.D1.62 2.D1.63 2.D1.64 2.D1.65 2.D1.66 2.D1.67 2.D1.68 2.D1.69 2.D1.70 6.D1.1 6.D1.2 6.D1.3 2.D2.3 2.D2.16 2.D2.17 2.D2.22 2.D2.23 2.D2.24 2.D2.25 2.D2.26 2.D2.27 2.D2.28 2.D2.29 2.D2.30 2.D2.31 2.D2.32 2.D2.33 2.D2.34 2.D2.35 2.D2.36 2.D2.37 2.D2.38 2.D2.39 2.D2.40 6.D2.1 6.D2.2 6.D2.3 6.D2.4 6.D2.6 6.D2.8 Enkeltopgaver A-niveau: 1.D1.19 2.D1.13 2.D1.14 2.D1.15 2.D1.16 2.D1.17 2.D1.18 2.D1.19 2.D1.20 2.D1.21 2.D1.22 2.D1.23 2.D1.24 2.D1.25 2.D1.26 2.D1.27 2.D1.28 2.D1.33 2.D1.34 2.D1.35 2.D1.36 2.D2.3 2.D2.4 2.D2.5 2.D2.6 Til elev og censor Faglige mål – operere med tal og repræsentationer af tal samt kritisk vurdere resultater af sådanne operationer – anvende funktionsudtryk og udtryk for afledede funktioner i opstilling af matematiske modeller på baggrund af datamateriale eller viden fra andre fagområder, kunne analysere givne matematiske modeller, foretage simuleringer samt fremskrivninger og forholde sig reflekterende til idealiseringer og rækkevidde af modeller – anvende matematiske værktøjsprogrammer til eksperimenter og begrebsudvikling samt symbolbehandling og problemløsning – operere med og redegøre for matematiske ræsonnementer og beviser samt de induktive og deduktive sider ved opbygningen af matematisk teori – demonstrere viden om matematikanvendelse inden for udvalgte områder, herunder viden om anvendelse i behandling af en mere kompleks problemstilling – demonstrere viden om matematikkens udvikling i samspil med den historiske, videnskabelige og kulturelle udvikling – demonstrere viden om fagets metoder og identitet – beherske mindstekrav omfattende grundlæggende matematiske færdigheder og kompetencer inden for kernestoffet – kommunikere aktivt i, med og om matematik i både mundtlig og skriftlig formidling Kernestof - regningsarternes hierarki - symbolmanipulation - ligningsløsning med algebraiske og grafiske metoder samt numeriske metoder med brug af matematiske værktøjsprogrammer - karakteristiske egenskaber ved trigonometriske funktioner og deres grafiske forløb - definition og fortolkning af differentialkvotient, herunder væksthastighed, afledet funktion for de elementære funktioner samt regnereglerne for differentiation af sum, differens og produkt af funktioner samt differentiation af sammensat funktion - monotoniforhold, ekstrema og optimering samt sammenhængen mellem disse begreber og begrebet differentialkvotient - principielle egenskaber ved matematiske modeller, matematisk modellering, herunder modellering med anvendelse af afledet funktion Supplerende stof - vægt på deduktive metoder og bevisførelse inden for udvalgte emner, herunder infinitesimalregning - bearbejdning af autentisk datamateriale - matematikhistoriske perspektiver på udvalgte emner Fra undervisningsvejledningen Definitions- og værdimængde C-niveau: Aflæsning af monotoniforhold, ekstrema og tangenthældninger på begrænsede grafer Supplerende på C-niveau: Forståelse af differentialkvotienters betydning som tangenthældning og i forbindelse med vækstmodellering Modellering ved trigonometriske funktioner på begrænsede intervaller, herunder skiftet til radianer i CAS-værktøjet - ikke en del af skriftlig eksamen på B-niveau Differentiation af elementære funktioner Differentiationsregnereglerne for sum, differens, produkt, ”gange en konstant” og sammensat funktion med lineær indre funktion. Bestemme tangenters ligninger, monotoniforhold og ekstrema ved hjælp af differentialkvotienten Overordnet kendskab til grænseværdibegrebet og kontinuitetsbegrebet Forståelse af differentialkvotienters betydning som tangenthældning og i forbindelse med vækstmodellering Supplerende på B-niveau - tretrinsreglen til bestemmelse af simple differentialkvotienter og regneregler for samme - kendskab til differentialligninger for lineær og eksponentiel vækst - løse differentialligninger for lineær og eksponentiel vækst ved hjælp af CAS Differentiation af sammensat funktion Indgående behandling af de trigonometriske funktioner, herunder radianbegrebet og sammenhængen med enhedscirklen, amplitudens, periodens og ligevægtsværdiens betydning for grafens forløb Supplerende på A-niveau - historisk forløb i tangentligningsbestemmelse Generelle færdigheder og kompetencer Talforståelse Regnearters hierarki Beregninger i almindelighed Vurdere rimeligheden af fundne resultatet Brøkregning Parentesregler (herunder kvadratsætningerne) Håndtere og opstille formler Bevidsthed og begrænsningerne forbundet med grafisk ligningsløsning Forskellen på eksakt og tilnærmet værdi Betydningen af numerisk værdi Forskel mellem regneforskrift og ligning Grafisk løsning af optimeringsproblemer Modellers begrænsninger og rækkevidde Anvende nulreglen Supplerende på B-niveau – forløb med vægt på bevisførelse inden for udvalgte emner – matematikhistoriske perspektiver på udvalgte emner – inddragelse og diskussion af videnskabsteoretiske spørgsmål og matematiske metoder
Indhold	Kernestof: Carstensen, Frandsen og Lorenzen (2019): MAT A2, Systime; sider: 50-56, 91-95, 105-109, 112-127, 182-190, 201-214
Omfang	Estimeret: Ikke angivet Dækker over: 26 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 10	Lineær regression Til eleven Mundtlig: 1. Udledning af forskriften for den bedste rette linje gennem et givent punkt-datasæt Skriftlig: Formelsamlingen: 222-228 Mindstekravsopgaver: Enkeltopgaver B-niveau: 4.D1.2 4.D1.3 4.D1.4 4.D2.1 4.D2.2 4.D2.3 4.D2.4 4.D2.5 4.D2.6 4.D2.7 Til elev og censor Faglige mål – operere med tal og repræsentationer af tal samt kritisk vurdere resultater af sådanne operationer – håndtere formler, kunne opstille og redegøre for symbolholdige beskrivelser af variabelsammenhænge og kunne anvende symbolholdigt sprog til at løse problemer med matematisk indhold – oversætte mellem de fire repræsentationsformer tabel, graf, formel og sproglig beskrivelse – anvende statistiske og sandsynlighedsteoretiske modeller til beskrivelse af data fra andre fagområder, foretage simuleringer, gennemføre hypotesetest, bestemme konfidensintervaller, kunne stille spørgsmål ud fra modeller, have blik for hvilke svar, der kan forventes, samt være i stand til at formulere konklusioner i et klart sprog – demonstrere viden om matematikanvendelse inden for udvalgte områder, herunder viden om anvendelse i behandling af en mere kompleks problemstilling – demonstrere viden om fagets metoder og identitet – beherske mindstekrav omfattende grundlæggende matematiske færdigheder og kompetencer inden for kernestoffet – kommunikere aktivt i, med og om matematik i både mundtlig og skriftlig formidling Kernestof - grafiske metoder samt numeriske metoder med brug af matematiske værktøjsprogrammer - statistiske metoder til håndtering af diskret og grupperet datamateriale, grafisk præsentation af statistisk materiale, stikprøve og empiriske statistiske deskriptorer samt anvendelse af lineær regression, herunder usikkerhedsbetragtninger og residualplot - konfidensintervaller Supplerende stof – bearbejdning af autentisk datamateriale Fra undervisningsvejledningen Kunne anvende værktøjsprogrammer til behandling af stikprøver Regression ved hjælp af værktøjsprogram Import af store datasæt Opstille modeller ved hjælp af lineær regression, og i forbindelse hermed tegne det tilhørende residualplot Foretage residualberegninger, identificering af den observation der repræsenterer den største afvigelse fra modellen), vurdere afvigelsernes størrelse i forhold til modelværdierne, kvalitativ vurdere hvorvidt der er systematik i residualafvigelserne Supplerende på C-niveau – bearbejdning af autentisk datamateriale Kvalitativt kendskab til mindste kvadraters metode Betydningen af en regressionshældning tæt på 0 Udregning af residualspredning Vurdering af en models tilstrækkelighed på baggrund af residualspredningen ved at sammenholde residualspredningens størrelse med størrelsen af den afhængige variabel samt størrelsen af variationsbredden af den afhængige variabel Undersøge om der blandt residualerne er outliers eller exceptionelle værdier (værdier under for intervallet [-3s;3s] Undersøge om 95% af residualerne ligger indenfor 2 gange residualspredningen Supplerende på B-niveau – simulering af nulhypotese Undersøge om residualerne er normalfordelte Bestemme konfidensinterval for regressionshældningen Generelle færdigheder og kompetencer Talforståelse Regnearters hierarki Beregninger i almindelighed Vurdere rimeligheden af fundne resultatet Parentesregler (herunder kvadratsætningerne) Bevidsthed og begrænsningerne forbundet med grafisk ligningsløsning Betydningen af numerisk værdi Modellers begrænsninger og rækkevidde Absolut og relativ afvigelse mellem modelværdi og virkelighed Løsning af ligningssystemer Anvende nulreglen Supplerende på B-niveau – forløb med vægt på bevisførelse inden for udvalgte emner – inddragelse og diskussion af videnskabsteoretiske spørgsmål og matematiske metoder
Indhold	Kernestof: Carstensen, Frandsen og Lorenzen (2019): MAT A2, Systime; sider: 348-361
Omfang	Estimeret: Ikke angivet Dækker over: 16 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 11	Sandsynlighedsregning og statistik Til eleven Mundtlig: Udledning af formlen for binomialkoefficienter Udledning af binomialfordelingens tæthedsfunktion Middelværdien af en binomialfordelt stokastisk variabel X Arealet under normalfordelingskurven er lig 1 Middelværdien af en normalfordelt stokastisk variabel (lærergennemgang) Skriftlig: Formelsamlingen: 229-270 Mindstekravsopgaver: 61 70 27 39 Enkeltopgaver B-niveau: 5.D1.1 5.D1.2 5.D1.3 5.D1.4 5.D1.5 5.D1.6 5.D1.7 5.D1.8 5.D1.9 5.D1.10 5.D2.1 5.D2.2 5.D2.3 5.D2.4 5.D2.5 5.D2.6 5.D2.7 5.D2.8 5.D2.9 5.D2.10 5.D2.11 5.D2.12 5.D2.13 5.D2.15 5.D2.16 5.D2.17 5.D2.18 5.D2.19 5.D2.20 6.D2.17 Enkeltopgaver A-niveau: 7.D1.1 7.D1.2 7.D1.3 7.D1.4 7.D1.5 7.D1.6 7.D1.7 7.D1.8 7.D1.9 7.D2.1 7.D2.2 7.D2.3 7.D2.4 7.D2.5 7.D2.6 7.D2.7 7.D2.8 7.D2.9 7.D2.10 7.D2.11 7.D2.12 7.D2.14 7.D2.15 Til elev og censor Faglige mål – operere med tal og repræsentationer af tal samt kritisk vurdere resultater af sådanne operationer – anvende statistiske og sandsynlighedsteoretiske modeller til beskrivelse af data fra andre fagområder, foretage simuleringer, gennemføre hypotesetest, bestemme konfidensintervaller, kunne stille spørgsmål ud fra modeller, have blik for hvilke svar, der kan forventes, samt være i stand til at formulere konklusioner i et klart sprog – anvende matematiske værktøjsprogrammer til eksperimenter og begrebsudvikling samt symbolbehandling og problemløsning – operere med og redegøre for matematiske ræsonnementer og beviser samt de induktive og deduktive sider ved opbygningen af matematisk teori – demonstrere viden om matematikanvendelse inden for udvalgte områder, herunder viden om anvendelse i behandling af en mere kompleks problemstilling – demonstrere viden om fagets metoder og identitet – anvende begreber og metoder fra diskret matematik inden for udvalgte områder – beherske mindstekrav omfattende grundlæggende matematiske færdigheder og kompetencer inden for kernestoffet – kommunikere aktivt i, med og om matematik i både mundtlig og skriftlig formidling Kernestof - overslagsregning - symbolmanipulation - kombinatorik, grundlæggende sandsynlighedsregning, sandsynlighedsfelt og stokastisk variabel, binomialfordeling og normalfordeling - konfidensintervaller og hypotesetest i binomialfordelingen Supplerende stof - bearbejdning af autentisk datamateriale - simulering af nulhypotese - begreber og metoder fra diskret matematik Fra undervisningsvejledningen Kende forskel på givne og frekventielle (statistisk bestemte) sandsynligheder Sandsynlighedsfelter - herunder symmetriske Kende og anvende begreberne fakultet, permutation, kombination samt additions- og multiplikationsprincippet Formlen for binomialkoefficienter Kendskab til begrebet stokastisk variabel Beregne middelværdi, varians og spredning for en stokastisk variabel i en given sandsynslighedsfordeling Udregne punktsandsynligheder og kumulerede sandsynligheder, middelværdi og spredning i binomialfordelingen Tegne og aflæse søjlediagrammer på baggrund af en binomialfordeling Anvende binomialfordelingen til løsning af virkelighedsnære problemstillinger Kendskab til forudsætningerne for hvornår en stokastisk variabel er binomialfordelt, herunder overvejelser omkring eksperimenter med og uden tilbagelægning Tosidet hypotesetest i binomialfordelingen, herunder forståelse af begreberne population, stikprøve, nulhypotese, alternativ hypotese, teststørrelse, kritisk område, acceptområde, signifikans niveau og p-værdi Overvejelser omkring systematiske fejl og skjulte variable Konfidensintervaller for sandsynlighedsparameteren Kendskab til begreberne normale og exceptionelle udfald Supplerende på B-niveau – simulering af nulhypotese – begreber og metoder fra diskret matematik Kendskab til normalfordelingens og standardnormalfordelingens tæthedsfunktion, repræsenteret ved tabel, graf og forskrift Håndterer middelværdi og spredning som parametre i normalfordelingsmodeller Betydningen af middelværdi og varians for beliggenheden af normalfordelingens tæthedsfunktions og fordelingsfunktions graf Identifikation af normale og exceptionelle udfald Sandsynligheden for, at en normalfordelt stokastisk variabel antager en normal eller exceptionelt værdi Undersøgelse af hvorvidt et datasæt med rimelighed kan siges at stamme fra en normalfordelt stokastisk variabel Generelle færdigheder og kompetencer Talforståelse Regnearters hierarki Beregninger i almindelighed Vurdere rimeligheden af fundne resultatet Brøkregning Parentesregler Håndtere og opstille formler Modellers begrænsninger og rækkevidde Supplerende på B-niveau – forløb med vægt på bevisførelse inden for udvalgte emner – inddragelse og diskussion af videnskabsteoretiske spørgsmål og matematiske metoder
Indhold	Kernestof: Carstensen, Frandsen og Lorenzen (2019): MAT A2, Systime; sider: 218-240, 249-280, 284-307, 320-330, 337-343
Omfang	Estimeret: Ikke angivet Dækker over: 28 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 12	Matematikkens deduktive væsen Forløbet Matematikkens deduktive væsen er fordelt over alle tre år. I 1g fokuseres på simple beviser inden for simple vækstmodeller annuiteter og andengradspolynomier. Endvidere gennemgås den aksiomatisk deduktive metode med udgangspunkt i Euklids aksiomer. I 2g fokuseres på udledningen af vektorformler, udledningen af differentialkvotienter for simple funktioner, simple differentiationsregneregler, opsamling på sætninger vedrørende 2. gradspolynomier og sætninger om 3.gradspolynomier. Endvidere inddrages matematik historiske perspektiver på udviklingen i differentialregningen herunder særligt tangentligningsbestemmelse. I 3g fokusres på udledningen af mere komplicerede differentiationsregneregler og differentialkvotienter for særlige funktionstyper, beviser indenfor integralregningen, udledning af løsningsformler til differentialligninger og beviser med udgangspunkt i normalfordelingens tæthedsfunktion. Endvidere inddrages matematik historiske perspektiver i forhold til den logistiske differentialligning. Udledning af kapitalfremskrivningsformlen Bevis for formlen for annuitetsopsparing Bevis for formlen for annuitetslån Bevis for potensregnereglerne Bevis for logaritmeregnereglerne Bevis for konstantformlerne (lineære udviklinger) Bevis for konstantformlerne (eksponentielle udviklinger) Bevis for konstantformlerne (potensudviklinger) Bevis for formlen for fordoblingskonstanten Bevis for formlen for parablens skæringspunkt med y-aksen Bevis for ligningen for tangenten til parablen i skæringspunktet med y-aksen Bevis for løsningsformlen til andengradsligninger Bevis for toppunktsformlen Bevis for faktoriseringsformlen Bevis for formlen for vinklen mellem vektorer Bevis for formlen for projektion af vektor på vektor Bevis for formlen for afstand mellem punkt og linje Bevis for differentialkvotienten for f(x)=k Bevis for differentialkvotienten for f(x)=a·x Bevis for differentialkvotienten for f(x)=x^2 Bevis for differentialkvotienten for f(x)=√x Bevis for differentialkvotienten for f(x)=1/x Bevis for differentialkvotienten for f(x)=x^3 Bevis for differentialkvotienten for f(x)=x^n Bevis for differentialkvotienten for h(x)=f(x)+g(x) Bevis for differentialkvotienten for p(x)=f(x)·g(x) Bevis for differentialkvotienten for h(x)=1/g(x) Bevis for differentialkvotienten for h(x)=f(x)/g(x) Udledning af formlen for binomialkoefficienter Udledning af binomialfordelingens tæthedsfunktion Bevis for formlen for binomialfordelingens middelværdi Bevis for analysens fundamentalsætning Bevis for formlen for kurvelængde af graf Bevis for formlen for rumfanget af et omdrejningslegeme. Bevis for omkreds af cirkel og volumen af en kugle. Normalfordelingens tæthedsfunktion Bevis for løsningsformlen til differentialligninger af typen y^'=k·y Bevis for løsningsformlen til differentialligninger af typen y'=b-a·y Bevis for løsningsformlen til differentialligninger af typen y'+a(x)·y=b(x) Bevis for løsningsformlen til differentialligninger af typen y^'=a·y·(M-y) Gradientens retning Mindstekvadraters metode (taleksempel) Ortogonalitet af retnings- og hastighedsvektor for cirkel Bevis for formlen for kurvelængde af banekurve Bevis for areal og omkreds af en cirkel.
Indhold	Kernestof: Opgaver i normalfordelingen.docx Prøve
Omfang	Estimeret: Ikke angivet Dækker over: 34 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 13	Matematikkens historie
Indhold	Kernestof: Clausen, Flemming m.fl. (2010): Gyldendels Gymnasiematematik B2 - Grundbog; sider: 241-249 Lund, Jes (2011): Tangentbestemmelse Historisk set; sider: 8-11, 20-26
Omfang	Estimeret: Ikke angivet Dækker over: 8 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 14	Integralregning Til eleven Mundtlig: Bevis for analysens fundamentalsætning Bevis for formlen for kurvelængde af graf Bevis for formlen for rumfanget af et omdrejningslegeme Bevis for omkreds af cirkel og volumen af en kugle Skriftlig: Formelsamlingen: 148-173 Mindstekravsopgaver: 29 44 Enkeltopgaver A-niveau: 3.D1.1 3.D1.2 3.D1.3 3.D1.4 3.D1.5 3.D1.6 3.D1.7 3.D1.8 3.D1.9 3.D1.10 3.D1.11 3.D1.12 3.D1.13 3.D1.14 3.D1.15 3.D1.16 3.D1.17 3.D1.18 3.D1.19 3.D1.20 3.D1.21 3.D1.22 3.D1.23 3.D1.24 3.D1.25 3.D1.26 3.D1.27 3.D1.28 3.D1.29 2.D2.1 2.D2.2 3.D2.1 3.D2.2 3.D2.3 3.D2.4 3.D2.5 3.D2.6 3.D2.7 3.D2.8 3.D2.9 3.D2.10 3.D2.11 3.D2.12 3.D2.13 3.D2.14 3.D2.15 3.D2.16 3.D2.17 3.D2.18 3.D2.19 3.D2.20 3.D2.21 3.D2.22 3.D2.23 3.D2.24 3.D2.25 3.D2.26 3.D2.27 3.D2.28 3.D2.29 Faglige mål – operere med tal og repræsentationer af tal samt kritisk vurdere resultater af sådanne operationer – anvende forskellige fortolkninger af stamfunktionsbegrebet – anvende matematiske værktøjsprogrammer til eksperimenter og begrebsudvikling samt symbolbehandling og problemløsning – demonstrere viden om matematikanvendelse inden for udvalgte områder, herunder viden om anvendelse i behandling af en mere kompleks problemstilling – demonstrere viden om fagets metoder og identitet – beherske mindstekrav omfattende grundlæggende matematiske færdigheder og kompetencer inden for kernestoffet – kommunikere aktivt i, med og om matematik i både mundtlig og skriftlig formidling Kernestof - regningsarternes hierarki - symbolmanipulation - ligningsløsning med algebraiske og grafiske metoder samt numeriske metoder med brug af matematiske værktøjsprogrammer - stamfunktion for de elementære funktioner, ubestemte og bestemte integraler, sammenhængen mellem areal og stamfunktion, regneregler for integration af sum og differens af funktioner samt af en funktion gange en konstant og integration ved substitution, anvendelser af integraler - principielle egenskaber ved matematiske modeller, matematisk modellering Supplerende stof - vægt på deduktive metoder og bevisførelse inden for udvalgte emner, herunder infinitesimalregning Fra undervisningsvejledningen Regneregler for sum, differens, ”gange en konstant” og substitution for bestemte og ubestemte integraler Integration ved hjælp af CAS Sammenhæng mellem areal og stamfunktion Bestemme areal afgrænset af grafer for funktioner, rumfang af omdrejningslegemer, og kurvelængder Supplerende på A-niveau - analysens fundamentalsætning om sammenhængen mellem areal og stamfunktion Generelle færdigheder og kompetencer Talforståelse Regnearters hierarki Beregninger i almindelighed Vurdere rimeligheden af fundne resultatet Brøkregning Parentesregler Håndtere og opstille formler Simpel ligningsløsning Forskellen på eksakt og tilnærmet værdi Betydningen af numerisk værdi Modellers begrænsninger og rækkevidde Anvende nulreglen Supplerende på A-niveau – forløb med vægt på bevisførelse inden for udvalgte emner – inddragelse og diskussion af videnskabsteoretiske spørgsmål og matematiske metoder
Indhold	Kernestof: Carstensen, Frandsen og Lorenzen (2019): MAT A3, Systime; sider: 23-57
Omfang	Estimeret: Ikke angivet Dækker over: 19 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 15	Funktioner af to variable Til eleven Mundtlig: Udledning af forskriften for den bedste rette linje gennem et givent punkt-datasæt Bevis for gradientens betydning Skriftlig: Formelsamlingen: 191-201 Mindstekravsopgaver: 78 79 Enkeltopgaver A-niveau: 4.D1.1 4.D1.2 4.D1.3 4.D1.4 4.D1.5 4.D2.1 4.D2.2 4.D2.3 4.D2.4 4.D2.5 4.D2.6 4.D2.7 4.D2.8 4.D2.9 4.D2.10 4.D2.11 4.D2.12 4.D2.13 4.D2.14 4.D2.15 Faglige mål – operere med tal og repræsentationer af tal samt kritisk vurdere resultater af sådanne operationer – opstille geometriske modeller og løse geometriske problemer baseret på en analytisk beskrivelse af geometriske figurer og flader i koordinatsystemer samt udnytte dette til at svare på teoretiske og praktiske spørgsmål, herunder problemløsning med anvendelse af vektorfunktioner og funktioner af to variable – anvende matematiske værktøjsprogrammer til eksperimenter og begrebsudvikling samt symbolbehandling og problemløsning – operere med og redegøre for matematiske ræsonnementer og beviser samt de induktive og deduktive sider ved opbygningen af matematisk teori – demonstrere viden om matematikanvendelse inden for udvalgte områder, herunder viden om anvendelse i behandling af en mere kompleks problemstilling – demonstrere viden om fagets metoder og identitet – beherske mindstekrav omfattende grundlæggende matematiske færdigheder og kompetencer inden for kernestoffet – kommunikere aktivt i, med og om matematik i både mundtlig og skriftlig formidling Kernestof - symbolmanipulation - funktioner af to variable, partielle afledede og grafisk forløb, herunder niveaukurver Supplerende stof - vægt på deduktive metoder og bevisførelse inden for udvalgte emner, herunder infinitesimalregning Fra undervisningsvejledningen Tegne grafer for funktioner af to variable, herunder niveaukurver og snitkurver Bestemme partielt afledede, anden afledede, tangentplaner, gradienter og stationære punkter samt arten af disse Generelle færdigheder og kompetencer Talforståelse Regnearters hierarki Beregninger i almindelighed Vurdere rimeligheden af fundne resultatet Brøkregning Parentesregler (herunder kvadratsætningerne) Håndtere og opstille formler Simpel ligningsløsning Bevidsthed og begrænsningerne forbundet med grafisk ligningsløsning Forskellen på eksakt og tilnærmet værdi Forskel mellem regneforskrift og ligning Grafisk løsning af optimeringsproblemer Modellers begrænsninger og rækkevidde Absolut og relativ afvigelse mellem modelværdi og virkelighed Løsning af ligningssystemer Anvende nulreglen Supplerende på A-niveau – forløb med vægt på bevisførelse inden for udvalgte emner – inddragelse og diskussion af videnskabsteoretiske spørgsmål og matematiske metoder
Indhold	Kernestof: Opgaver i normalfordelingen.docx vingelængde.xlsx 194097_tulipanstilke.xlsx 194108_hongkong_vaegt.xlsx Fedtprocent.xlsx Opgave i at bestemme konstanter.docx Opgaver i funktioner af to variable.docx Opgaver i partiel differentiation.docx Carstensen, Frandsen og Lorenzen (2019): MAT A3, Systime; sider: 72-108, 120-129
Omfang	Estimeret: Ikke angivet Dækker over: 16 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 16	Differentialligninger Til eleven Mundtlig: Løsning af differentialligningen y^'=k·y Løsning af differentialligningen y'=b-a·y Løsning af differentialligningen y'+a(x)·y=b(x) (lærergennemgang) Løsning af differentialligningen y^'=a·y·(M-y) Skriftlig: Formelsamlingen: 174, 176-183 Mindstekravsopgaver: 15 24 33 51 67 74 Enkeltopgaver A-niveau: 5.D1.1 5.D1.2 5.D1.3 5.D1.4 5.D1.5 5.D1.6 5.D1.7 5.D1.8 5.D1.9 5.D1.10 5.D1.11 5.D1.12 5.D1.13 5.D1.14 5.D1.15 5.D1.16 5.D1.17 5.D1.18 5.D1.19 5.D1.20 5.D1.21 5.D1.22 5.D1.23 5.D1.24 5.D2.1 5.D2.2 5.D2.3 5.D2.4 5.D2.5 5.D2.6 5.D2.7 5.D2.8 5.D2.9 5.D2.10 5.D2.11 5.D2.12 5.D2.13 5.D2.14 5.D2.15 5.D2.16 5.D2.17 5.D2.18 5.D2.19 5.D2.20 5.D2.21 5.D2.22 5.D2.23 5.D2.24 5.D2.25 5.D2.26 5.D2.27 5.D2.28 Faglige mål – operere med tal og repræsentationer af tal samt kritisk vurdere resultater af sådanne operationer – anvende forskellige metoder til løsning af differentialligninger – anvende matematiske værktøjsprogrammer til eksperimenter og begrebsudvikling samt symbolbehandling og problemløsning – operere med og redegøre for matematiske ræsonnementer og beviser samt de induktive og deduktive sider ved opbygningen af matematisk teori – demonstrere viden om matematikanvendelse inden for udvalgte områder, herunder viden om anvendelse i behandling af en mere kompleks problemstilling – demonstrere viden om fagets metoder og identitet – beherske mindstekrav omfattende grundlæggende matematiske færdigheder og kompetencer inden for kernestoffet – kommunikere aktivt i, med og om matematik i både mundtlig og skriftlig formidling Kernestof symbolmanipulation ligefrem proportionalitet ligningsløsning med algebraiske og grafiske metoder samt numeriske metoder med brug af matematiske værktøjsprogrammer lineære og separable differentialligninger af første orden, herunder den logistiske differentialligning, kvalitativ analyse af differentialligninger samt opstilling af simple differentialligninger principielle egenskaber ved matematiske modeller, matematisk modellering, herunder modellering med anvendelse af afledet funktion Supplerende stof vægt på deduktive metoder og bevisførelse inden for udvalgte emner, herunder infinitesimalregning bearbejdning af autentisk datamateriale matematikhistoriske perspektiver på udvalgte emner Fra undervisningsvejledningen Løsning af logistiske og lineære første ordens differentialligninger, herunder eksponentiel vækst og forskudt eksponentiel vækst, samt simple separable differentialligninger Løse separable differentialligninger ved hjælp af CAS Tolkning af simple differentialligninger Opstilling af simple differentialligninger svarende til de tre vækstmodeller: eksponentiel, forskudt eksponentiel og logistisk vækst, på baggrund af en sproglig formulering Løse simple differentialligninger svarende til de tre vækstmodeller: eksponentiel, forskudt eksponentiel og logistisk vækst uden hjælpemidler. Undersøge om en given funktion er en løsning til en forelagt differentialligning (gøre prøve) Bestemme ligning for tangent på baggrund af differentialligning Bestemme og tegne linjeelementer Numerisk løsning af differentialligninger ved hjælp af CAS Tegne og afkode en grafisk repræsentation af en numerisk løsning til en differentialligning i et hældningsfelt Aflæse relevante oplysninger ef en forelagt numerisk løsning til en differentialligning i et hældningsfelt Supplerende på A-niveau Udledning af fuldstændige løsninger til udvalgte differentialligninger historisk forløb i behandlingen af logistisk vækst Generelle færdigheder og kompetencer Talforståelse Regnearters hierarki Beregninger i almindelighed Vurdere rimeligheden af fundne resultatet Brøkregning Parentesregler Håndtere og opstille formler Bevidsthed og begrænsningerne forbundet med grafisk ligningsløsning Forskellen på eksakt og tilnærmet værdi Grafisk løsning af optimeringsproblemer Modellers begrænsninger og rækkevidde Absolut og relativ afvigelse mellem modelværdi og virkelighed Supplerende på A-niveau forløb med vægt på bevisførelse inden for udvalgte emner inddragelse og diskussion af videnskabsteoretiske spørgsmål og matematiske metoder
Indhold	Kernestof: To ligninger med to ubekendte.docx Opgaver i at gøre prøve.docx Opgaver i differentialligninger.docx MATX int_subs.pdf Lav opgaverne 11-15. Prøve i funktioner af to variable Opgaver i produkt og sammensat funktion.docx Lav opgave 17, 18 og 19 i vedhæftede dokument om integration ved substitution! MATX - to ligninger med to ubekendte.pdf Lav opgave 24, 32, 36 og 37 hjemme (hvis I kan nå det). Det er jo træning for jeres egen skyld:-)
Omfang	Estimeret: Ikke angivet Dækker over: 33 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 17	Historisk forløb - logistisk vækst
Indhold	Kernestof: Simple differentialligningsmodeller - ny.docx I arbejder selv med de vedhæftede opgaver - de er ALLE lektier. Tag jer sammen og få det lavet 3ø! I laver på jeres aflevering. Simple differentialligningsmodeller.docx
Omfang	Estimeret: Ikke angivet Dækker over: 6 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 18	Vektorfunktioner Til eleven Mundtlig: Ortogonalitet mellem hastigheds- og accelerationsvektor for cirkler Spejlingsegenskab ved inverse funktioner Kurvelænge af banekurve Skriftlig: Formelsamlingen: 184-190 Mindstekravsopgaver: 47 80 Enkeltopgaver A-niveau: 6.D1.1 6.D1.2 6.D1.3 6.D1.4 6.D1.5 6.D1.6 6.D1.7 6.D1.8 6.D1.9 6.D1.10 6.D1.11 6.D1.12 6.D1.13 6.D1.14 6.D2.1 6.D2.2 6.D2.3 6.D2.4 6.D2.5 6.D2.6 6.D2.7 6.D2.8 6.D2.9 6.D2.10 6.D2.11 6.D2.12 6.D2.13 6.D2.14 6.D2.15 6.D2.16 6.D2.17 6.D2.18 6.D2.19 6.D2.20 6.D2.21 6.D2.22 6.D2.23 6.D2.24 6.D2.25 6.D2.26 6.D2.27 6.D2.28 6.D2.29 Faglige mål – håndtere formler, kunne opstille og redegøre for symbolholdige beskrivelser af variabelsammenhænge og kunne anvende symbolholdigt sprog til at løse problemer med matematisk indhold – problemløsning med anvendelse af vektorfunktioner – anvende matematiske værktøjsprogrammer til symbolbehandling og problemløsning – operere med og redegøre for matematiske ræsonnementer og beviser samt de induktive og deduktive sider ved opbygningen af matematisk teori – demonstrere viden om matematikanvendelse inden for udvalgte områder, herunder viden om anvendelse i behandling af en mere kompleks problemstilling – demonstrere viden om fagets metoder og identitet – beherske mindstekrav omfattende grundlæggende matematiske færdigheder og kompetencer inden for kernestoffet – kommunikere aktivt i, med og om matematik i både mundtlig og skriftlig formidling Kernestof symbolmanipulation ligningsløsning med algebraiske og grafiske metoder samt numeriske metoder med brug af matematiske værktøjsprogrammer funktionsbegrebet fortolkning af differentialkvotient vektorfunktioner, grafisk forløb af banekurver, herunder tangentbestemmelse, samt anvendelser af vektorfunktioner principielle egenskaber ved matematiske modeller, matematisk modellering, herunder anvendelse af nogle af ovennævnte funktionstyper og kombinationer heraf, samt modellering med anvendelse af afledet funktion. Supplerende stof Fra undervisningsvejledningen Vektorfunktionernes forskellige repræsentationsformer Oversætte fra en repræsentationsform til en anden Bestemme skæringspunkter med akserne, dobbeltpunkter (når en parameterværdi er kendt), retningsvektor for tangent og tangentligning, herunder ligning for vandret og lodret tangent Modellering af bevægelse ved hjælp af vektorfunktion, herunder hastigheds- og accelerationsvektor Generelle færdigheder og kompetencer Talforståelse Regnearters hierarki Beregninger i almindelighed Vurdere rimeligheden af fundne resultatet Brøkregning Parentesregler Håndtere og opstille formler Simpel ligningsløsning Bevidsthed og begrænsningerne forbundet med grafisk ligningsløsning Grafisk løsning af optimeringsproblemer Modellers begrænsninger og rækkevidde Løsning af ligningssystemer Anvende nulreglen Supplerende på A-niveau forløb med vægt på bevisførelse inden for udvalgte emner inddragelse og diskussion af videnskabsteoretiske spørgsmål og matematiske metoder
Indhold	Kernestof: Husk jeres skrivedagsprøve! Opgave 1 i vektorfunktioner.docx Jeg er syg, så I går i gang med forberedelsesmaterialet. Det er et materiale, som man fra ministeriets side har vurderet, at I selv kan sætte jer ind i på 6 timer. Så brug nu timerne i dag fornuftigt! I arbejder videre med forberedelsesmaterialet eller laver videoer til et af de to beviser.
Omfang	Estimeret: Ikke angivet Dækker over: 29 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 19	Forberedelsesmaterialet til skriftlig eksamen Emneforløb i forberedelsesmaterialet hørende til den skriftlige eksamen. Eleverne arbejder selvstændigt under vejledning med det udleverede forberedelsesmateriale. Forløbet skal have en varighed på mindst 6 timer.
Indhold	Kernestof: Terminsprøve 2025.pdf
Omfang	Estimeret: Ikke angivet Dækker over: 14 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Vis samlet undervisningsbeskrivelse samt elevtilknytning til forløb