Holdet 3u MA (2025/26) - Undervisningsbeskrivelse

menu

Undervisningsbeskrivelse

Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser
Termin(er) 2023/24 - 2025/26
Institution Stenhus Gymnasium
Fag og niveau Matematik A
Lærer(e)
Hold 2023 MA/u (1u MA, 2u MA, 3u MA)

Oversigt over gennemførte undervisningsforløb
Titel 1 Vektorer
Titel 2 Eksponentielle funktioner
Titel 3 Potensmodeller
Titel 4 Annuitets- og rentesregning
Titel 5 Det matematiske sprog - tal og ligninger
Titel 6 Andengradspolynomier
Titel 7 Velkommen tilbage
Titel 8 Andengradspolynomiet - repetition.
Titel 9 Differentialregning
Titel 10 Integralregning
Titel 11 Funktioner af to variable
Titel 12 Trigonometriske funktioner
Titel 13 Historisk forløb - Verhulst
Titel 14 Repetition og beviser
Titel 15 Sandsynlighedsregning og kombinatorik del 1
Titel 16 Fra ide til bevis
Titel 17 Normalfordelingen
Titel 18 Analytisk geometri (Vektorregning 2)
Titel 19 Vektorfunktioner
Titel 20 Differentialligninger
Titel 21 Forberedelsesmateriale
Titel 22 Træning i opgaveregning
Titel 23 SRP
Titel 24 Beviser og bevistyper (repetition)

Beskrivelse af de enkelte undervisningsforløb (1 skema for hvert forløb)
Titel 1 Vektorer

Følgende punkter er gennemgået:

- Hvad er en vektor
- Tegning af vektorer
- Parallelle - og ortogonale vektorer
- Modsat -og ensrettede vektorer
- Enhedsvektor
- Nulvektor
- Vektoraddition og -subtraktion
- Kræfternes parallelogram
- Indskudsreglen
- Regneregler for vektorer
- Multiplikation med tal algebraisk og geometrisk
- Koordinater til vektor, herunder notation
- Regning med koordinater
- Stedvektor
- Forbindelsesvektor
- Længden af en vektor og afstand mellem to punkter i et koordinatsystem
- Skalarprodukt/prikprodukt
- Vinkler mellem vektorer
- Cosinusrelationerne
- Determinant og tværvektor
- Areal af parallelogrammer og trekanter udspændt af vektorer
- Projektion af vektor
- Enhedscirklen
- Pythagoras’ sætning
- Bevis for vinkelen mellem to vektorer
- Bevis for cosinusrelationerne ved anvendelse af vektorer
- Bevis for formlen til projektion af vektor på vektor
Indhold
Kernestof:

Skriftligt arbejde:
Titel Afleveringsdato
Afleveringsopgave 1 09-01-2024
Afleveringsopgave 2 14-01-2024
Prøve i vektorer med hjælpemidler. 15-01-2024
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 27 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 2 Eksponentielle funktioner

- Forskrift for eksponentialfunktion
- Grafisk forløb for eksponentialfunktion
- Konstanternes betydning for grafens udseende
- Begreberne fremskrivningsfaktor og vækstrate og sammenhængen mellem disse
- Fortolkning af konstanterne i eksponentielle modeller
- Renteformlen/kapitalfremskrivning
- Logaritmefunktionerne log og ln, Eulers tal e, e^x, herunder grafiske forløb, grundtal, logaritmeregneregler
- Løsning af eksponentielle ligninger af typen b*a^x=c og ved brug af logaritmeregneregler.
- Bestemmelse af forskrift for eksponentiel funktion gennem to punkter og bevis for dette
- Eksponentiel regression, herunder tolkning af forklaringsgrad og residualplot
- Fordoblingskontant og halveringskonstant
- Rødder og potenser og potensregneregler
- Projekt om Eksponentielle modeller i virkeligheden
- Udeldning af topunktsformlen
- Bevis for fordoblings- og halveringskonstant

Eleverne har genneført et af nedenstående projekter efter eget valg.

Projekt 4.2. Nedbrydning af rusmidler
Projektet er inspireret af Sundhedsstyrelsens store rapport om rusmidler. En sammenligning af kroppens forbrænding af fx alkohol og hash, er en sammenligning af lineære og eksponentielle modeller.

Projekt 4.3 Tunnellen under Storebælt
En af de ukendte faktorer forud for boringen af tunnellen under Storebælt var, om man ville støde på mange meget store granitsten, på måske 1000 tons. Ud fra de autentiske data fra prøveboringerne prø-ver vi opstille en matematisk model over, hvor mange og hvor store sten man ville møde under Store-bælt.

Projekt 4.4 Aldersbestemmelse og Kulstof 14 datering
I 1972 fandt to grønlandske jægere nogle yderst velbevarede grønlandske mumier i Qilakitsoq i Uumman-naq-distriktet i NV-Grønland. To stendækkede grave rummede i alt seks kvinder og to børn, alle påklæd-te. For at fastlægge det tidspunkt hvor de blev begravede anvendte nationalmuseet kulstof 14 metoden. I projektet studerer vi denne metode og nogle af de spektakulære cases, hvor metoden har været anvendt.

Projekt 4.6 Minamata-katastrofen. En modellering af ligevægt mellem lineær vækst og eksponentiel henfald
I begyndelsen af 50’erne blev den Japanske fiskerby Minamata ramt af en uhyggelig sygdom. Dyrene opførte sig mærkeligt, og mange mennesker fik synsforstyrrelser, blev svimle og mistede til sidst forstan-den. De var ramt af kviksølvforgiftning. Den matematiske modellering handler om ligevægt mellem lineær vækst og eksponentiel henfald.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 24 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 3 Potensmodeller

- Forskrift for potensfunktioner
- Grafer for potensfunktioner, herunder definitions- og værdimængde
- Vækstegenskab for potensfunktion og formel for potensvækst
- To punktsformlen for potensfunktioner og bevis for denne
- Potensregression
- Brug af potensfunktioner som modeller
- Opsamling på de tre funktionstyper
- Regression og skelnen mellem de tre typer af funktioner.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 8 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 4 Annuitets- og rentesregning

Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 4 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 5 Det matematiske sprog - tal og ligninger


- Tal og talord
- Talsans
- Talsymboler
- Positionstalsystemer
- Udvidelse af talbegrebet, nul, negative tal, brøker
- Regning med tal og paranteser
- Brøker og decimaltal,  tilnærmet og eksakt
- Regning med brøker
- Eksponetiel notation
- Talmængderne
- Formler, naturligt sprog og symbolsprog
- Regler for løsning af ligninger
- Garfisk løsning og formelregning
- To ligninger med to ubekendte
- Funktioners egenskaber og grafiske forløb
- Definitions- og værdimængde
- Monotoniforhold
- Omvendt funktion
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 12 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 6 Andengradspolynomier

- Betydning af a, b og c for parablens grafiske forløb.
- Parablens symmetri og toppunkt
- Andengradsregression
- Andengradsligningen - grafisk løsning
- Diskriminant og løsningsformlen for andengradsligningen
- Betydningen af diskriminanten for parablens grafiske forløb.
Indhold
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 12 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 7 Velkommen tilbage

- Eleverne viser løsningen til årsprøven på tavlen.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 4 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer


Titel 9 Differentialregning

INDHOLD
Kernestof:
– funktionsbegrebet, sammensat funktion
– definition og fortolkning af differentialkvotient, herunder væksthastighed, afledet funktion for de elementære funktioner samt regnereglerne for differentiation af sum, differens og produkt af funktioner samt differentiation af sammensat funktion
– monotoniforhold, ekstrema og optimering samt sammenhængen mellem disse begreber og begrebet differentialkvotient
– principielle egenskaber ved matematiske modeller, matematisk modellering, herunder anvendelse af nogle af ovennævnte funktionstyper og kombinationer heraf, samt modellering med anvendelse af afledet funktion.

Følgende emner/begreber er gennemgået:
- Definition af differentialkvotient
- Sammenhængen mellem sekanthældning/differenskvotient og tangenthældning/differentialkvotient
- Simpel grænseværdibetragning.
- Differentiation af simple funktioner (polynomier, ln(x), kvadratrod(x), 1/x, e^x, a^x, x^n)
- Tre trins reglen  (beviser gennemgået - forudsætning om kontinuitet er udeladt og grænseværdisbegrebet er gennemgået uformelt!)
- Bevis for at hvis f(x)=x^2 så er f'(x)=2x
- Bestemmelse af tangentens ligning gennem et punkt på en kurve
- Bevis for at hvis f(x)=ax+b så er f'(x)=a
- Bevis for at hvis f(x)=k så er f'(x)=0
- Bevis for at hvis f(x)=1/x så er f'(x)=-1/x^2
- Bevis for at hvis f(x)=kvadratrod(x) så er f'(x)=1/2*kvadratrod(x)
- Regneregler for differentialkvotienter (sum/differens/konstantfaktorreglen)
- Differentialkvotient via Nspire
- Bestemmelse af tangentligninger på formlen y=f'(x0)(x-x0)+f(x0) med/uden hjælpemidler
- Bestemmelse af punkt for en tangent givet en hældning for tangenten
- Bestemmelse af monotoniforhold med/uden hjælpemidler ud fra f(x), f '(x), grafer for begge og monotonilinje
- Optimering
- Sammenhæng mellem væksthastighed/hastighed og differentialkvotient, modellering med f’
- Sammensat funktion og differentiation af denne (kædereglen) (bevis udeladt)
- Differentiation af produkt af funktioner og bevis  (produktreglen) (bevis udeladt)
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 31 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 10 Integralregning

INDHOLD
Kernestof:
–ligningsløsning med algebraiske og grafiske metoder samt numeriske metoder med brug af matematiske værktøjsprogrammer, tilnærmet og eksakt værdi samt absolut værdi
– stamfunktion for de elementære funktioner, ubestemte og bestemte integraler, sammenhængen mellem areal og stamfunktion, regneregler for integration af sum og differens af funktioner samt af en funktion gange en konstant og integration ved substitution, anvendelser af integraler

Konkret er følgende gennemgået:
- Begrebet stamfunktion og definition af denne
- Regneregler for stamfunktioner
- Integration ved substitution
- Integration af en række kendte funktioner i henhold til formelsamlingen
- Stamfunktion gennem et givet punkt
- Stamfunktion med en given linje som tangent
- Bestemt integral
- Integralregningens hovedsætning og bevis for denne
- Arealet under grafer
- Arealer mellem grafer
- Omdrejningslegemer
- Kurvelængde
- Bevis for volumen af en cylinder og en kugle via integralregnig (differentieret undervisning)
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 30 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 11 Funktioner af to variable

INDHOLD
Kernestoffet er:
– funktioner af to variable, partielle afledede og grafisk forløb, herunder niveaukurver
– principielle egenskaber ved matematiske modeller, matematisk modellering, herunder anvendelse af nogle af ovennævnte funktionstyper og kombinationer heraf, samt modellering med anvendelse af afledet funktion.

Følgende er gennemgået
- Definition af en funktion af to variable og af n variable
- Grafen for en funktion af to variable
- Funktionsværdi for en funktion af to variable
- Afgøre om et punkt ligger på grafen for en to funktion af to variable
- Ligningsløsning med funktioner af to variable
- Niveaukurver og grafer for disse
- Snitkurver og snitfunktioner
- Partielt afledede funktioner og tolkning af disse for modeller
- Gradient og fortolkning af denne
- Stationære punkter, minimum og maksimum
- Dobbeltafledede og blandede afledede
- Lokale maksimums-og minimumspunkter og saddelpunkter ud fra r,s og t
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 13 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 12 Trigonometriske funktioner

Følgende er gennemgået

- Radianbegrebet og sammenhængen med enhedscirklen.
- Amplitude, periode, faseforskydning og ligevægtsværdi for en harmonisk svingning.
- Trigonometriske ligninger
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 5 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 13 Historisk forløb - Verhulst

Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 6 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer


Titel 15 Sandsynlighedsregning og kombinatorik del 1

Kernestoffet er:
- simple statistiske metoder til håndtering af diskret og grupperet datamateriale, grafisk præsentation af statistisk materiale, stikprøve og empiriske statistiske deskriptorer, samt anvendelse af lineær, eksponentiel, potens og polynomiel regression, herunder usikkerhedsbetragtning og residualplot
- kombinatorik, grundlæggende sandsynlighedsregning, sandsynlighedsfelt og stokastisk variabel, binomialfordeling samt anvendelse af normalfordelingsapproksimation hertil, konfidensinterval og hypotesetest i binomialfordelingen

Konkret er følgende gennemgået:
-Sandsynlighedsfelt, sandsynlighed og udfaldsrum, herunder symmetrisk sandsynlighedsfelt og hændelse
-Multiplikationsprincippet og additionsprincippet
-Permutationer og fakultetsfunktionen
-Binomialkoefficient og beregn af denne
-Stokastisk variabel, middelværdi, varians og spredning af denne
-Binomialfordeling, herunder antals- og sandsynlighedsparameter, forudsætninger
-Beregning af punktsandsynligheder og kumulerede sandsynligheder i binomialfordelingen med formel og Nspire
-Middelværdi og varians og spredning for binomialfordeling
- Normale udfald, exceptionelle udfald
- Stikprøve, hypotese, nulhypotese, signifikansniveau
-Tosidet binomialtest, herunder acceptmængde og kritisk mængde
-95%-Konfidensintervaller
Indhold
Kernestof:

Skriftligt arbejde:
Titel Afleveringsdato
Afleveringsopgave 1 22-08-2025
Øvelse 6 03-09-2025
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 20 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 16 Fra ide til bevis

- Aksiomatisk deduktiv metode.
- Euklids Elementer.
- Herunder Euklids definitioner, postulater og aksiomer.
- Eleverne har arbejdet med udvalgte sætninger fra Bog I efter deres eget valg.
- Inkommensurable tal i forbindelse med Menon.
- Kvadratets fordobling fra Menon.
- Tværfagligt projekt med Oldtidskundskab.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 7 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 17 Normalfordelingen

Kernestoffet er:
– stikprøve og empiriske statistiske deskriptorer samt anvendelse af lineær, eksponentiel, potens- og polynomiel regression, herunder usikkerhedsbetragtninger og residualplot
–normalfordeling, konfidensintervaller, hypotesetest i binomialfordelingen
– principielle egenskaber ved matematiske modeller, matematisk modellering

Konkret er følgende gennemgået:
- Frekvensfunktion
- Fordelingsfunktion og kobling via integralregning til frekvensfunktion
- Stokastisk variabel - kontinuert og diskret
- Standard normalfordelingen med middelværdi 0 og spredning 1 samt frekvensfunktion (tæthedsfunktion) for denne samt dennes graf
- Generelt normalfordeling med vilkårlig spredning og middelværdi samt frekvensfunktion (tæthedsfunktion) for denne samt dennes graf
- Beregning af sandsynligheder i normalfordelingen
- Normcdf og normpdf i Nspire
- Ligningsløsning med fordelingsfunktionen for normalfordeling
- Invnorm som invers normalfordeling i Nspire
- Sandsynligheder plus/minus hhv. 1,2 og 3 spredninger fra middelværdien
- Kobling mellem binomialfordeling og normalfordeling er gennemgået ganske overfladisk
- Tjek for normalfordeling af data i normalfordelingsplot i Nspire
- Normalfordelte residualer ved lineær regression og bestemmelse af middelværdi og spredning af disse
- 95 % konfidensinterval for hældning ved lineær regression
- Test af hypotese om hældning eller ingen sammenhæng (hældning =0)
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 7 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 18 Analytisk geometri (Vektorregning 2)

Kernestoffet er:
-vektorer i to dimensioner givet ved koordinatsæt, herunder skalarprodukt, determinant, projektion, vinkler, areal, linje, cirkel, skæringer og afstandsberegninger samt anvendelser af vektorbaseret koordinatgeometri til opstilling og løsning af plangeometriske problemer, herunder trigonometriske problemer


Konkret er følgende gennemgået:
-Standard form for ret linje
-Normalform for ret linje og bestemmelse af denne ud fra punkt og normalvektor
-Parameterfremstilling for ret linje og bestemmelse af denne ud fra punkt og retningsvektor
-Bestemmelse af ret linje ud fra to punkter på alle tre former
-Omregning mellem de tre former for rette linjer
-Sammenhæng mellem normalvektor og retningsvektor (tværvektor)
-Sammenhæng mellem retningsvektor og hældning
-Skæringspunkter mellem rette linjer på alle tre former og bestemmelse af dette (to ligninger med to ubekendte via substitutionsmetoden)
-Afstand fra punkt til linje
- Projektion af punkt på linje
-Ortogonale linjer og parallelle linjer
- Bestemmelse af vinkel mellem to linjer (vinkel mellem retningsvektorer)
-Cirklens ligning ud fra centrum og radius
- Kvadratkomplettering og omskrivning af cirklens ligning
-Skæringspunkt mellem cirkler og linjer
-Tangent til cirkel
- Bevis for afstandsformlen
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 15 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 19 Vektorfunktioner

INDHOLD
Kernestoffet er:
– definition og fortolkning af differentialkvotient, herunder væksthastighed, afledet funktion for de elementære funktioner
– vektorfunktioner, grafisk forløb af banekurver, herunder tangentbestemmelse, samt anvendelser af vektorfunktioner
– principielle egenskaber ved matematiske modeller, matematisk modellering, herunder anvendelse af nogle af ovennævnte funktionstyper og kombinationer heraf, samt modellering med anvendelse af afledet funktion.


Konkret er følgende gennemgået
- Vektorfunktion
- Stedvektor
- koordinatfunktioner
- parameterkurve og parameterfremstilling
- Banekurve
- Elimination af parameteren (omskrivning af parameterfremstillingen, herunder repetition af kvadratkomplettering)
- Differentiation af vektorfunktion, herunder tangentvektor og tangent
- Hastighedsvektor, accelerationsvektor og fart
- Kurveundersøgelse (skæring med x-aksen, y-aksen, lodret tangent og vandret tangent)
- Vinkel mellem tangenter
-Dobbeltpunkter
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 8 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 20 Differentialligninger

Kernestoffet er:
– lineære og separable differentialligninger af første orden, herunder den logistiske differentialligning, kvalitativ analyse af differentialligninger samt opstilling af simple differentialligninger
– principielle egenskaber ved matematiske modeller, matematisk modellering, herunder anvendelse af nogle af ovennævnte funktionstyper og kombinationer heraf, samt modellering med anvendelse af afledet funktion.

Konkret er følgende gennemgået:
- Definition af differentialligning og løsning til disse
- Fuldstændig og partiel løsning til differentialligninger
- At gøre prøve på venstre og højre side for at kontrollere om en given funktion er løsning
- Bestemmelse af tangentligninger i punkter ud fra differentialligning
- Linjeelementer og hældningsfelter
- Fuldstændig løsning af differentialligning af typen y = ky samt bevis for dette
- Fuldstændig løsning af differentialligning af typen y = b-ay samt bevis for dette
- Fuldstændig løsning af differentialligning af typen y = y(b-ay) samt bevis for dette
- Fuldstændig løsning af differentialligning af typen y = ay(M-y) (version 2 af ovenfor)
- Brug af panserformlen og bevis for denne
- Karakteristiske egenskaber ved logistisk vækst, herunder bæreevne og maksimal væksthastighed
- Bestemmelse af væksthastighed ud fra differentialligning
- Opstilling af differentialligning og indføre passende variable
- Løsning af differentialligninger med CAS (desolve) med og uden startbetingelser
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 27 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 21 Forberedelsesmateriale

Indhold
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 7 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 22 Træning i opgaveregning

Indhold
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 11 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 23 SRP

Indhold
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 0 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 24 Beviser og bevistyper (repetition)

Arbejde med mundtlighed gennem beviser og ræsonnementer.
- Bevis for differentialkvotienten til sin(x).
- Bevis for produktreglen.
- Bevis for arealformlen.
- Bevis for formlen for volumen af et omdrejmningslegeme.
- Vise at integralet fra minus- til plus uendelig for normalfordelingsfunktionen er 1.
- Bevise længden for et kurvestykke
- Bevise længden for kurvestykke for en vektorfunktion
- Induktionsbevis og direkte bevis
- Mindste kvadraters metode - udledning
Indhold
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 26 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer