Holdet 3h MA (2025/26) - Undervisningsbeskrivelse

menu

Undervisningsbeskrivelse

Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser
Termin(er) 2023/24 - 2025/26
Institution Midtfyns Gymnasium
Fag og niveau Matematik A
Lærer(e) Sidsel Nonnemann, Tanja Jensen
Hold 2023 MA/h (1h MA, 2h MA, 3h MA)

Oversigt over gennemførte undervisningsforløb
Titel 1 Procent- og rentesregning
Titel 2 Eksponentiel vækst
Titel 3 Potensvækst
Titel 4 Polynomier
Titel 5 Vektorer
Titel 6 Deskriptiv statistik
Titel 7 Funktioner
Titel 8 Trigonometriske funktioner
Titel 9 Differentialregning
Titel 10 Sandsynlighedsregning
Titel 11 Plangeometri
Titel 12 Integralregning
Titel 13 Differentialligninger
Titel 14 Vektorfunktioner
Titel 15 Normalfordeling og regression
Titel 16 Funktioner af to variable
Titel 17 Polære koordinater (forberedelsesmateriale)

Beskrivelse af de enkelte undervisningsforløb (1 skema for hvert forløb)
Titel 1 Procent- og rentesregning

Materiale:
Mike Auerbach: Renter og annuiteter
Link: https://www.mathematicus.dk/matematik/kernestof/Renter_og_annuiteter.pdf

Indhold:
Procentregning
Rentesregning herunder fremskrivningsfaktorer og vækstrate
Kapitalfremskrivningsformel
Annuitetsopsparing
Annuitetslån
Indekstal
Potensregneregler
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 10,00 moduler
Dækker over: 8 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 2 Eksponentiel vækst

Materialer:
- Karsten Juul: Øvelser til hæftet "Kort om eksponentielle sammenhænge", http://mat1.dk/oevelser_til_haeftet_kort_om_eksponentielle_sammenhaenge.pdf
- Mike Auerbach: Funktioner s. 23-27
https://mathematicus.dk/matematik/kernestof/Funktioner.pdf

Bevis:
- Topunktsformlen til at bestemme a og b
- Formel for fordoblingskonstant

Indhold:
- Forskrift
- Graf
- Konstanternes betydning
- Fremskrivningsfaktor
- Beregne a og b når to punkter er kendt
- Fordoblings-/halveringskonstant
- Logaritmer
- Vækst over flere/færre perioder
- Eksponentiel regression
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 15,00 moduler
Dækker over: 13 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 3 Potensvækst

Materialer:
- Mike Auerbach: Funktioner, s. 35-39 https://www.mathematicus.dk/matematik/kernestof/Funktioner.pdf

Bevis:
- Formlen til at bestemme a og b

Indhold:
• Forskrift
• Betydning af a og b
• Grafens udseende
• Betydning af a i forhold til grafens udseende
• Beregne y når man kender x
• Beregne x når man kender y
• Formel der bruges til at beregne a når man kender to punkter
• Formel der bruges til at beregne b når man kender a og mindst ét punkt  
• Beregne hvor mange procent y vokser når x vokser med p_x%
• Potensregression
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 5,00 moduler
Dækker over: 9,84 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 4 Polynomier

Materialer:
- Mike Auerbach: Funktioner, s. 41-54 https://www.mathematicus.dk/matematik/kernestof/Funktioner.pdf

Beviser:
- Løsning af en andengradsligning
- Toppunktsformlen

Indhold:
- Funktionsforskrift, herunder koefficienterne betydning for grafens forløb for andengradspolynomier
- Diskriminant og dens betydning
- Rødder
- Toppunkt
- Faktorisering
- Polynomisk regression
- Grafens forløb for polynomier af højere orden
- Kvadratsætninger
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 8,00 moduler
Dækker over: 9,79 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 5 Vektorer

Materiale:
Mike Vandal Auerbach: Plangeometri s. 5-32

Bevis:
Vinkel mellem vektorer
Projektion af vektor på vektor

Indhold:
Eleven skal:
- have forståelse for repræsentationen af en vektor, herunder nulvektor, enhedsvektor, stedvektor, forbindelsesvektor, tværvektor og modsat vektor.
- have forståelse for længden af en vektor og vinklen mellem vektorer
- have forståelse for en vektors koordinater
- have forståelse for regning med vektorer både grafisk og vha. koordinater: Hvordan man ganger en vektor med et tal, hvordan man lægger vektorer sammen, hvordan man trækker vektorer fra hinanden
- have forståelse for skalarprodukt og sammenhængen med ortogonale vektorer
- kunne bestemme vinklen mellem vektorer vha. skalarprodukt
- have forståelse for enhedscirklen
- kunne anvende andengradsligningen til løsning af problemstillinger med ortogonale og parallelle vektorer
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 10,00 moduler
Dækker over: 12,84 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 6 Deskriptiv statistik

Materialer:
- Mike Auerbach: Statistik, s. 5-36 https://mathematicus.dk/matematik/kernestof/Statistik.pdf

Indhold:
Grupperede og ugrupperede observationer
Observationssæt
Hyppighed
Frekvens
Kumuleret hyppighed
Kumuleret frekvens
Observationssættets størrelse (N)
Typetal
Middelværdi
Fraktiler
Kvartilsæt
Outlier
Variationsbredde
Typeinterval
Sumkurve
Boksplot
Histogram
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 2,00 moduler
Dækker over: 2,95 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 7 Funktioner

Indhold
· Definitions- og værdimængde
· Nulpunkter
· Sammensatte funktioner
· Kombinationer af funktioner
· Sammensat funktion
· Parallelforskydning af grafer
· Inverse funktioner
· Injektivitet

Litteratur:
· Mike Auerbach: Funktioner, version 2.1, s. 5-18, https://mathematicus.dk/matematik/kernestof/Funktioner.pdf
Indhold
Omfang Estimeret: 5,00 moduler
Dækker over: 4 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 8 Trigonometriske funktioner

Indhold:
• Enhedscirklen
• radianer
• Trigonometriske funktioner
○ A·sin⁡(ω·x+ϕ )+d
○ Graf
○ Konstanternes betydning
○ Periode
○ Faseforskydning
• Inverse trigonometriske funktioner
• Ligninger med sin, cos og tan


Litteratur:
Mike Auerbach: Mathematicus, Kapitel 7: Trigonometriske funktioner, s. 53-62, https://mathematicus.dk/matematik/kernestof/Funktioner.pdf
Indhold
Omfang Estimeret: 4,00 moduler
Dækker over: 4,95 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 9 Differentialregning

Indhold
• Sekant og tangent
• Tre-trins-reglen
• Regneregler for differentiation
• Bevis for udvalgte differentialkvotienter x^2, 1/x, kvadratrod(x), sum/differens, konstant gange funktion, produkt, tangentens ligning
• Monotoniforhold
• Optimering
• Væksthastighed

Herunder gennemgået
• Eulers tal
• Logaritmer




Litteratur
• Auerbach: Differentialregning,
https://mathematicus.dk/matematik/kernestof/Differentialregning.pdf
• Auerbach: Funktioner s. 29-34, https://mathematicus.dk/matematik/kernestof/Funktioner.pdf
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 23,00 moduler
Dækker over: 30 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 10 Sandsynlighedsregning

Indhold:
• Kombinatorik
• Permutationer
• Fakultet
• Multiplikationsprincippet
• Additionsprincippet
• Komplementærhændelse
• Forenings- og fællesmængde
• Udfald
• Sandsynlighedsfelt (også symmetrisk)
• Hændelse
• Sandsynlighedsfunktion
• Stokastisk variabel
• Udfaldsrum
• Uafhængige og ikke-uafhængige hændelser
• Kontinuerte og diskrete sandsynligheder
• Frekvensfunktion (tæthedsfunktion)
• Fordelingsfunktion
• Binomialfordeling
• Binomialtest
• Normalfordeling
• Normalfordelte data og normal-plot/QQ-plot
• Simulering af nulhypotese

Brug af Excel, WordMat og GeoGebra til ovenstående.



Teori:
Mike Auerbach: Sandsynlighedsregning, version 1.0, 24. juni 2021, 37 sider https://mathematicus.dk/matematik/kernestof/Sandsynlighedsregning.pdfhttps://mathematicus.dk/matematik/kernestof/Sandsynlighedsregning.pdf[/url]
Indhold
Omfang Estimeret: 10,00 moduler
Dækker over: 7 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 11 Plangeometri

Indhold
• Linjer
• Linjens parameterfremstilling
• Linjens ligning
• Afstanden fra et punkt til en linje
• Cirkler
• Skæringspunkter mellem cirkler og linjer
• Cirkeltangenter
• Cirklens parameterfremstilling
• Brug af GeoGebra til ovenstående

Beviser
• Linjens ligning
• Afstand fra punkt til linje
• Sammenhæng mellem de to notationer y=ax+b og ax+by+c=0
• Hældningskoefficient for ortogonale linjer

Litteratur:
Mike Auerbach: Geometri i planen, s. 43-59, version 1.5, 14. januar 2021,
https://mathematicus.dk/matematik/gamleudgaver/Geometri_i_planen_1-5.pdf.
Indhold
Omfang Estimeret: 15,00 moduler
Dækker over: 15 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 12 Integralregning

Indhold
• Historisk tilbageblik: Hvordan Leibniz opfandt integralregningen
• Stamfunktion
• Stamfunktion gennem punkt
• Ubestemte integraler og regneregler
• Bestemte integraler og regneregler
• Areal og stamfunktion
• Omdrejningslegemer
• Kurvelængde
• Integration ved substitution


Litteratur
Karsten Juul: Hvordan Leibniz opfandt integralregningen, https://www.mat1.dk/hvordan_leibniz_opfandt_integralregningen.pdf
Mike Auerbach: Integralregning, version 1.5, januar 2022, www.mathematicus.dk/matematik/kernestof/Integralregning.pdf, 27 sider

Dog ikke afsnit 4.1 (middelværdi) og 4.4 (overfladeareal)

Beviser:
• Beviser, der kan bevises vha. Integrationsprøven
• Sætning 3.5 (Integralregningens hovedsætning)
• Sætning 4.5 (rumfang af omdrejningslegeme)
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 15,00 moduler
Dækker over: 12 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 13 Differentialligninger

Indhold
• Hvad er en differentialligning (definition, form, orden (første orden og anden ordens))
• Typer af differentialligninger
○ Eksponentiel vækst og forskudt eksponentiel vækst
○ Logistisk vækst
○ Lineære førsteordens differentialligninger
• Løsninger
○ Partikulære
○ Fuldstændige
○ Metoden: at gøre prøve
○ Separation af variable
○ Ved stamfunktion
• Tangenter og hældningsfelter
○ Herunder begreberne
§ Løsningskurve
§ Linjeelementer
§ Monotoniforhold    
• Opstilling af differentialligninger
• Løsning af numeriske differentialligninger ved brug af CAS (WordMat og GeoGebra)

Beviser:
Formel 176
Formel 177
Formel 179
Væksthastighed for logistisk vækst har toppunkt ved M/2

Materiale:
• Mike Auerbach s. 5-32:  Differentialligninger, https://www.mathematicus.dk/matematik/kernestof/Differentialligninger.pdf
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 20,00 moduler
Dækker over: 21,95 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 14 Vektorfunktioner

Indhold:
• Vektorfunktioner og repræsentationsformer
• Det grafisk forløb af parameterkurver/banekurve
• Tangentbestemmelse
• Skæring med koordinatakserne
• Dobbeltpunkter
• Krumning
• Modeller beskrevet ved vektorfunktioner
• Sammenhæng mellem funktionsforskrift og vektorfunktion
• Hastigheds- og accelerationsvektor


Arbejdsformer:
Gruppearbejde med forberedelsesmateriale med fokus på
• At lære at bruge GeoGebra og WordMat til at løse opgaver med vektorfunktioner
• Skrive gode besvarelser
• At lave og organisere noter og GeoGebra-filer til ovenstående, så det let kan findes og bruges til afleveringer, terminsprøve og skriftlig eksamen.

Bevis:
• Længden af et stykke af en parameterkurve (sætning 1)
• Udledning af formel for krumning af parameterkurve (sætning 3)
• Vinkel mellem stedvektor og hastighedsvektor for cirkel og logarimisk spiral


Materiale:
Forberedelsesmateriale fra 2019
Indhold
Omfang Estimeret: 7,00 moduler
Dækker over: 10,95 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 15 Normalfordeling og regression

Indhold:
• Kontinuerte og diskrete sandsynligheder
• Frekvensfunktion (tæthedsfunktion)
• Fordelingsfunktion
• Normalfordeling
• Normalfordelte data og normal-plot/QQ-plot
• Deskriptiv statistik
• Regression og konfidensinterval for hældning

Brug af Excel, WordMat og GeoGebra til ovenstående.



Teori:
Kilde: Mike Auerbach: Statistik, https://www.mathematicus.dk/matematik/kernestof/Statistik.pdf

(ikke grundigt omkring s. 28-33)
Mike Auerbach: Sandsynlighedsregning, version 1.0, 24. juni 2021, 37 sider https://mathematicus.dk/matematik/kernestof/Sandsynlighedsregning.pdfhttps://mathematicus.dk/matematik/kernestof/Sandsynlighedsregning.pdf[/url]
Indhold
Omfang Estimeret: 10,00 moduler
Dækker over: 10,95 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 16 Funktioner af to variable

Fagligt indhold:
• Funktioner af to variable
• Snitfunktion og snitflade
• Grafer
• Niveaukurver
• Partielle afledede
• Gradient
• Tangentplaner
• Stationære punkter (og arten af disse)

CAS:
Brug af GeoGebra til at lave ovenstående.

Litteratur:
• Mike Auerbach: Funktioner af to variable, Version 1.1, 10. januar 2023,  https:// mathematicus.dk/matematik/kernestof/Funktioner_af_to_variable.pdf
• Eugene Khutoryansky: Gradients and Partial Derivatives, Gradients and Partial Derivatives [på engelsk], https://youtu.be/GkB4vW16QHI

Formelsamling:
Formel (191)-(201)
Indhold
Omfang Estimeret: 6,00 moduler
Dækker over: 7 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 17 Polære koordinater (forberedelsesmateriale)

Arbejde selvstændigt under vejledning med årets forberedelsesmateriale udgivet af ministeriet.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 4,5 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer