Holdet 2022 MA/a - Undervisningsbeskrivelse

menu

Undervisningsbeskrivelse

Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser
Termin(er) 2022/23 - 2024/25
Institution Z - Espergærde Gymnasium og HF 2
Fag og niveau Matematik A
Lærer(e) Sofie Nørskov Stoustrup, Thomas Hjortgaard Danielsen
Hold 2022 MA/a (1a MA, 2a MA, 3a MA)

Oversigt over gennemførte undervisningsforløb
Titel 1 Vektorregning
Titel 2 Eksponentiel vækst
Titel 3 Potensfunktioner
Titel 4 Andengradsligninger og -polynomier
Titel 5 Trigonometriske funktioner
Titel 6 Mængder og funktioner
Titel 7 Deskriptiv statistik
Titel 8 Differentialregning
Titel 9 Kombinatorik og simpel sandsynlighedsregning
Titel 10 FF2: Sandsynligheder i spil
Titel 11 Binomialfordeling og -test
Titel 12 Differentialligninger til SRO
Titel 13 Vektorfunktioner
Titel 14 Analytisk geometri
Titel 15 Forberedelse af årsprøve
Titel 16 Integralregning
Titel 17 Studietur: Algoritmer
Titel 18 FF3: Faglig formidling
Titel 19 Differensligninger
Titel 20 Differentialligninger
Titel 21 Normalfordeling
Titel 22 Regressionsanalyse
Titel 23 Betinget sandsynlighed
Titel 24 Funktioner af to variable
Titel 25 Beviser og eksamenstræning

Beskrivelse af de enkelte undervisningsforløb (1 skema for hvert forløb)
Titel 1 Vektorregning

Indhold
Cosinus og sinus - definition via enhedscirkel.
Sammenhæng mellem prikprodukt og vinkel mellem vektorer, samt bevis for prikproduktformlen.
Arcsin og arccos.
Finde ukendte sider og vinkler i retvinklede trekanter.
Determinant og arealformel.

Beviser
Skalarprodukt
Vinkel mellem vektorer

Undervisningsmateriale
Mathematicus Plangeometri s. s. 13-18, dele af 18-30 (og s. 4-12 i grundforløb)
Indhold
Omfang Estimeret: 10,00 moduler
Dækker over: 11 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 2 Eksponentiel vækst

Indhold
Renteformlen.
Potensregneregler og rødder.
Eksponentielle funktioner.
Logaritmefunktioner.
Bevis for regneregler for logaritmefunktioner.
Fordoblings-/halveringskonstant og bevis for formlerne.
Anvendelse:  radioaktive henfald. Anvendelse: decibel-skalaen

Beviser
Topunktsformlen
Logaritmeregneregler
Fordoblings- og halveringskonstant

Undervisningsmateriale
Mathematicus Renter og Anniuteter s. 5-9
Mathematicus Funktioner s. 23-30
Indhold
Omfang Estimeret: 11,00 moduler
Dækker over: 12 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 3 Potensfunktioner

Indhold
Potensfunktioner.
Betydningen af konstanterne a og b i potensfunktion.
Procent-procent-vækst.
Bevis for 1+ry=(1+rx)^a.
Proportionalitet

Beviser
Topunktsformlen
1+ry=(1+rx)^a.

Undervisningsmateriale
Mathematicus Funktioner s. 35-39
Indhold
Omfang Estimeret: 3,00 moduler
Dækker over: 3 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 4 Andengradsligninger og -polynomier

Indhold
Andengradsligninger og andengradspolynomier.
Koefficienternes betydning for grafen.
Kvadratsætninger og bevis for løsningsformlen.
Faktorisering af andengradspolynomier.
Gætte rødder i normeret andengradspolynomium ud fra b og c.

Beviser
Løsningsformlen
Faktorisering (selvstændigt arbejde)

Undervisningsmateriale
Mathematicus Funktioner s. 41-42 og 44-50
Indhold
Omfang Estimeret: 6,00 moduler
Dækker over: 6 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 5 Trigonometriske funktioner

Indhold
Vinkler i radianer.
Trigonometriske funktioner og betydningen af konstanterne.
Additionsformler (inkl. bevis) samt anvendelse på stødtoner.

Beviser
Additionsformler (temaopgave)

Undervisningsmateriale
Mathematicus Funktioner s. 55-60
Indhold
Omfang Estimeret: 3,00 moduler
Dækker over: 4 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 6 Mængder og funktioner

Indhold
Vigtige talmængder (N, Z, Q, R).
Intervaller.
Mængdeoperationer (fællesmængde, foreningsmængde, mængdedifferens).
Definitions- og værdimængde.
Sammensætning af funktioner.
Stykkevist definerede funktioner.

Undervisningsmateriale
Mathematicus Funktioner s. 5-11 og 65-68
Indhold
Omfang Estimeret: 7,00 moduler
Dækker over: 6 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 7 Deskriptiv statistik

Indhold
Ugrupperede observationer: Middelværdi, spredning, median, kvartiler og boksplot.
Grupperede observationer: intervalfrekvens og kumuleret frekvens. Histogram og sumkurve. Median og kvartiler samt middelværdi.

Undervisningsmateriale
Mathematicus Statistik s. 9-25
Indhold
Omfang Estimeret: 3,00 moduler
Dækker over: 4 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 8 Differentialregning

Indhold
Definitioner og beviser inden for differentialregning
Differentialkvotient som tangenthældning og væksthastighed.
Monotoniforhold og krumning med inddragelse af f'', herunder argumenter for betydningen af a for eksponential- og potensfunktioner og for a og b for andengradspolynomier, samt udledning af toppunktsformlen for andengradspolynomier.
Optimering

Beviser
Differentialkvotient for x^2, x^3, ax+b, k, e^x, e^kx, a^x, ln(x) og x^a for x>0



Kobling til kemi
Reaktionshastighed

Kobling til fysik
Kinetik (bevægelse, hastighed og acceleration)
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 19,00 moduler
Dækker over: 17 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 9 Kombinatorik og simpel sandsynlighedsregning

Indhold
Grundlæggende sandsynlighedsregning, herunder symmetriske sandsynlighedsfelter.
Uafhængige hændelser.
Stokastisk eksperiment og variabel.
Sandsynlighedsfunktion.
Middelværdi
Kombinatorik: fakultet, permutation og kombination. Binomialkoefficienten K(n,r)
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 5,00 moduler
Dækker over: 3 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 10 FF2: Sandsynligheder i spil

Flerfagligt forløb i matematik og informatik om sandsynligheder og binomialfordeling
Indhold
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 0 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 11 Binomialfordeling og -test

Indhold
Stokastiske eksperimenter og variable
Sandsynlighedsfunktion
Kumulerede sandsynligheder vha. summer
Middelværdi, varians og spredning
Søjlediagram
Hypotesetest
Konfidensinterval for andel
Stikprøver
Simuleringer (FF2)

Beviser:
Middelværdi og spredning for binomialfordelingen (ud fra regnereglerne E(X+Y)=E(X)+E(Y) og V(X+Y)=V(X)+V(Y)

Forløbet køres delvist som FF2 sammen med informatik.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 8,00 moduler
Dækker over: 8 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 12 Differentialligninger til SRO

Introduktion af differentialligninger til brug i SRO.

Indhold
Hvad er en differentialligning?
Hvordan afgør man om en given funktion er løsning til en given differentialligning?
Opstilling af differentialligninger

Beviser
Vis at et andengradspolynomium er en løsning til en differentialligning af typen y''=k
Vis at en eksponentialfunktion er en løsning til en differentialligning af typen y'=ky

Kobling til kemi
Reaktionshastighed i SRO

Kobling til fysik
Kinetik (bevægelse, hastighed og acceleration) i SRO
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 3,00 moduler
Dækker over: 3 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 13 Vektorfunktioner

Indhold
Banekurver generelt, herunder skæringspunkter med aksene og dobbeltpunkter
Beskrivelse af linjer og cirkler ud fra vektorer (parameterfremstilling)
Beregning af skæringer mellem to banekurver (linjer i hånden)
Tangentbestemmelse, herunder cirkeltangent samt ligning for vandret og lodret tangent.
Modellering med vektorfunktioner
Fortolkning af s' og s'' som hastigheds- og accelerationsvektor

Beviser
Vektorfunktionen for en jævn cirkelbevægelse
Argument for hvornår man kan omskrive fra vektorfunktion (x(t),y(t)) til funktion y(x), samt for at tangenten har samme retning.

Kobling til fysik
Bevægelse i to retninger

Kobling til informatik
Bevægelse i computerspil og -simulationer
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 14,00 moduler
Dækker over: 10 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 14 Analytisk geometri

Geometri (næsten) uden vektorer

Indhold
Linjens ligning
Omskrive frem og tilbage mellem ligning og parameterfremstilling for en ret linje
Afstand fra punkt til linje - og i den forbindelse projektion af vektor på vektor og af punkt på linje
Ortogonale og parallelle linjer
Vinkel mellem linjer
Sammenhængen mellem en ret linjes hældningsvinkel (med førsteaksen) og linjens hældningskoefficient.
Cirklens ligning, herunder kvadratkomplettering

Som opgaver (fordi I har haft metoderne under vektorfunktioner)
Cirkeltangenter
Skæringspunkt mellem linjer og skæringspunkter mellem linje og cirkler


Beviser
Afstand fra punkt til linje
Hældningen af ortogonale linjer
Udledning af ligningen for en linje givet punkt og normalvektor
Udledning af linjens parameterfremstilling ud fra stedvektor til punkt og retningsvektor
Udledning af cirklens ligning og parameterfremstilling.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 7,00 moduler
Dækker over: 8 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 15 Forberedelse af årsprøve

I får tid til at forberede jer til årsprøven
Indhold
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 2 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 16 Integralregning

Indhold
Stamfunktioner, ubestemte integraler og bestemte integraler
Regneregler, herunder integration ved substitution
Anvendelser: Areal, rumfang og kurvelængde

Beviser
Regneregler (plus, minus og gange med konstant) for ubestemte integraler
Forskellen på to stamfunktioner er konstant
Arealfunktion
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 12,00 moduler
Dækker over: 14 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 17 Studietur: Algoritmer

Algoritmer i og uden for matematik (supplerende stof)
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 5,00 moduler
Dækker over: 5 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 18 FF3: Faglig formidling

Forberedelse til FF3, hvor I skal arbejde med faglig formidling af matematiske nybrud  (supplerende stof)
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 3,00 moduler
Dækker over: 2 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 19 Differensligninger

Indhold
Introduktion til differensligninger og diskret matematik
Rentesregning vha. differensligninger (kapitalopsparing, annuitetsopsparing og annuitetslån)
Populationsmodeller vha. differensligninger.

Beviser
Udledning af løsningen på lukket form til den lineære differensligning y_(n+1)=a*y_n+b
Indhold


Supplerende stof:
Omfang Estimeret: 6,00 moduler
Dækker over: 7 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 20 Differentialligninger

Indhold
Hvad er en differentialligning? Hvordan kan man arbejde med dem uden at løse dem? Og hvordan løser man dem?

Undersøgelse af om en funktion er løsning til en given differentialligning
Ligning for tangent til bestemt løsningskurve
Linjeelementer og hældningsfelter
Løsning af lineære og separable differentialligninger af 1. orden, både i hånden og med Maple
Modellering med differentialligninger.

Beviser
De fuldstændige løsninger til udvalgte typer af differentialligninger (y'=ky og y'=b-ay)
Egenskaber for logistisk vækst.
Indhold
Kernestof:

Supplerende stof:
Omfang Estimeret: 17,00 moduler
Dækker over: 13 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 21 Normalfordeling

Indhold
Tæthedsfunktion og fordelingsfunktion
Middelværdi og spredning som parametre
Normalfordelingsapproksimation og konfidensinterval for andel
Normale og exceptionelle udfald
Undersøgelse af om data stammer fra noget, som er normalfordelt
Simuleringer

Beviser
Standardnormalfordel stokastisk variabel har middelværdien 0 (beviset gennemgås i slutningen af året)
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 10,00 moduler
Dækker over: 7 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 22 Regressionsanalyse

Indhold
Vi skal tilbage til den lineære funktion og arbejde med, hvordan man vurderer om en lineær model passer godt på data.
Vi kommer til at trække på både den deskriptive statistik og normalfordelingen.

Residualspredning
Konfidensinterval for hældning
Er residualerne normalfordelte? (QQ-plot af residualer)
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 3,00 moduler
Dækker over: 4 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 23 Betinget sandsynlighed

Arbejde med forberedelsesmaterialet om betinget sandsynlighed. Forløbet gennemføres som selvstudie med vejledning.

Indhold
Grundlæggende sandsynlighedsregning
Betinget sandsynlighed
Loven om total sandsynlighed
Bayes sætning
Bayes udvidede sætning

Beviser
Bayes sætning
Bayes udvidede sætning
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 6,00 moduler
Dækker over: 7 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 24 Funktioner af to variable

Indhold
Grafisk forløb, herunder niveau- og snitkurver
Partielle afledede
Gradient
Stationære punkter og deres art (saddelpunkter og ekstremumspunkter)
Modellering med funktioner af to variable
Tangentplan

Beviser
Sumformlen for partielt afledede
Udledning af formlen for b ved lineær regression med mindste kvadraters metode
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 6,00 moduler
Dækker over: 7 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer