Holdet 2022 22 MA/d - Undervisningsbeskrivelse

menu

Undervisningsbeskrivelse

Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser
Termin(er) 2022/23 - 2024/25
Institution Silkeborg Gymnasium
Fag og niveau Matematik A
Lærer(e) Eva Juelsgaard Gjaldbæk
Hold 2022 22 MA/d (1d MA, 2d MA, 3d MA)
Oversigt over gennemførte undervisningsforløb
Titel 1 Opsparing lån og gæld
Titel 2 Andengradsligninger
Titel 3 Fibonaccital
Titel 4 Andengradspolynomier
Titel 5 Eksponentielle funktioner og logaritmefunktioner
Titel 6 Potensvækst
Titel 7 Funktionsbegrebet
Titel 8 Vektorer 1 (inkl. introduktion til trigonometri)
Titel 9 Deskriptiv statistik
Titel 10 Sumtegn
Titel 11 Komibinatorik, sandsynlighedsregning, binomialford
Titel 12 Differentialregning
Titel 13 Trigonometriske funktioner
Titel 14 Vektorer og analytisk plangeometri 1
Titel 15 Vektorfunktioner
Titel 16 Vektorer og analytiske geometri 2
Titel 17 Funktioner af to variable I
Titel 18 Funktioner af 2 variable II
Titel 19 Integralregning
Titel 20 Normalfordelingen
Titel 21 Formidlingsforløb
Titel 22 Modelvurdering
Titel 23 Differentialligninger
Titel 24 Forberedelsesmateriale om sandsynlighedsteori
Titel 25 Supplerende stof: Enigma
Titel 26 Repetition

Beskrivelse af de enkelte undervisningsforløb (1 skema for hvert forløb)
Titel 1 Opsparing lån og gæld

Der behandles lån og opsparing, herunder:
- Renteformlen
- Annuitetslån
- Serielån
- Annuitetsopsparing (herunder bevis for formlen for en endelig geometrisk række)
Indhold
Kernestof:

Supplerende stof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 12 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 2 Andengradsligninger

Vi arbejder med andengradsligninger (ikke polynomier).
Vi lærer at løse dem og beviser løsningsformlen.
Derudover arbejder vi med diskriminantens betydning
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 6 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 3 Fibonaccital

Tværfagligt forløb med musik, hvor eleverne i matematik arbejder med Fibonaccitallene og det gyldne snit.

Forløbet er designet til at eleverne arbejder meget selvstændigt med forskellige aspekter og selv vælger, hvad der har lyst til at dykke ned i.
Indhold


Supplerende stof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 8 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 4 Andengradspolynomier

Forløbet omhandler primært andengradspolynomier sekundært polynomier af højere grad:
- Hvad er et polynomium, og hvad afgør dets grad
- Sammenhæng mellem andengradsligninger og andengradspolynomier
- Parabler og konstanternes betydning for deres udseende (herunder diskriminanten)
- Nulreglen
- Toppunktsformlen inkl. bevis (beviset tager udgangspunkt i sekanter, tangenter og tangentens hældning i toppunktet)
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 6 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 5 Eksponentielle funktioner og logaritmefunktioner

I dette forløb gennemgås eksponentiel vækst og i den forbindelse også logartimefunktioner.
Der dækkes for de eksponentielle funktioner:
- vækstegenskaber
- sammenhæng med renteformlen
- topunktsformlerne (inkl. bevis)
- fordoblings- og halveringskonstant (inkl. bevis)


for logaritmefunktioner:
- logaritmeregneregler
- vækstegenskaber
- introduktion til logaritmer som inverse til eksponentialfunktioner
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 9 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 6 Potensvækst

Potensvækst gennemgås inkl.:
- topunktsformler (inkl. bevis)
- Vækstegenskaben
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 4 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 7 Funktionsbegrebet

Introduktion til funktionsbegrebet herunder:
- definitionsmængde og værdimængde
- montoniforhold
- invers funktion
- sammensat funktion
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 5 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 8 Vektorer 1 (inkl. introduktion til trigonometri)

Introduktion til vektorer:
- sum og differens af vektorer
- skalering af vektorer
- længde af vektorer
- vektorers koordinater
- skalarprodukt og sammenhæng med vinklen mellem vektorer
- skalarproduktet er uafhængigt af rotation af koordinatsystemet.
- vinkelformlen inkl. to beviser: et der trækker på trigonometri og et der udnytter at skalarproduktet er uafhængigt af rotation.
- tværvektor
- determinant inkl. hvordan den bruges til at bestemme om vektorer er parallelle, men ekskl. areal at parallelogram

Undervejs har det været nødvendigt at introducere til trigonometri, herunder:
- enhedscirklen
- geometrisk definition af cos, sin og tan (dog ikke introduktion til radianer)
- formler til beregninger i retvinklede trekanter
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 9 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 9 Deskriptiv statistik

Introduktion til deskriptiv statistik.
Forløbet introduceres med, at eleverne med det statistik de har lært i grundskolen, fremlægger forskellig data omkring nogle sange, de har valgt i forbindelse med deres afleveringer. Dette lægger op til en snak om hvordan man behandler og forholder sig (kritisk) til data.

Derefter gennemgås klassisk deskriptiv statistik om ugrupperede og grupperede observationer, herunder:
- observationer
- hyppighed
- frekvens
- kumuleret frekvens
- trappediagram
- sumkurve
- kvartilsæt
- udvidet kvartilsæt
- boksplot
- middelværdi (inkl. overvejelser om forskel på gennemsnit og middelværdi, samt hvilken indflydelse intervalinddeling kan have på middelværdien)
- varians
- spredning

Forløbet afsluttes med at se udsendelsen "Temalørdag: Statistik, magt og manipulation" fra DR2 (2017)
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 7 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 10 Sumtegn

Formålet med forløbet er at introducere sigma-notationen og gøre eleverne fortrolige med den.

- omskrivning mellem sigmanotation og +notation
- regneregler for summer
- overvejelser om uendelige summer
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 8 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 11 Komibinatorik, sandsynlighedsregning, binomialford

Kombinatorik herunder:
- multiplikationsprincip
- additionsprincip
- kombinationer
- permutationer

Sandsynlighedsregning herunder:
- additionsprincip
- multiplikationsprincip
- gunstige/mulige

Binomialfordeling herunder:
- hvad er en stokastisk variabel
- hvad er binomialforsøg
- hvad er en binomialfordelt stokastisk variabel
- P(X=r) inkl. argument
- mu=n*p inkl. bevis
- konfidensinterval for p
- binomialtest både vha. konfidensinterval og vha. kritisk mængde og acceptmængde
- begreberne kritisk mængde, acceptmængde, nulhypotese, alternativ hypotese, etsidet og dobbeltsidet test, signifikansniveau
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 17 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 12 Differentialregning

I forløbet har vi gennemgået differentialregning herunder tangenthældninger, differentialkvotienter, tretrinsreglen, afledte funktioner, væksthastighed, monotoniforhold og optimering.

Der er blevet gennemgået:
- differentialkvotient for fundamentale funktioner, herunder bevis vha. tretrinsregel for andengradspolynomiet, kvadratrod og en over x, x i n'te
- regneregler for differentialkvotienter er gennemgået: sum, differens, gange med en konstant, produktregel (inkl. bevis), kvotientregel (overfladisk) og kæderegel
- fortolkning af tangenthældning og partielt afledte som væksthastighed
- anvendelse af differentialregning til bestemmelse af monotoniforhold og optimering
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 18 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 13 Trigonometriske funktioner

I forløbet gennemgås de trigonometriske funktioner sin og cos med særligt fokus på sin.
Dette dækker
- radianer vs. grader
- grafens udseende herunder transformation af grafer samt forbindelse til lydbølger
- De afledede funktioner inkl. argument (men ikke bevis)
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 5 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 14 Vektorer og analytisk plangeometri 1

Vektorer og analytiske geometri inkl.
- fortolkning af determinant
- parameterfremstilling af linje, skæring af linjer, omskrivning mellem ligning og parameterfremstilling

fra parameterfremstillingen bevæger vi os over i vektorfunktioner
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 10 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 15 Vektorfunktioner

Forløbet starter med at eleverne arbejder selvstændigt med forberedelsesmaterialet fra 2019 (dog fraregnet længde af banekurve, areal og krumning).
Dette dækker:
- omløbsretning
- dobbeltpunkter
- differentiering og tangenter

Derefter laver vi et bevis for formlen for længden af banekurven, som bruger integralregning.
Dette giver et intermezzo om integraler som infinitesimale summer.

Der gennemgås også krumning, særligt for cirkler.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 14 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 17 Funktioner af to variable I

Vi starter på funktioner af to variable.
Vi har i denne del af forløbet dækket:
- forskrift og graf
- snitkurver og niveaukurver
- separable funktioner
- beregning af volumen under separable funktioner (inkl. bevis)
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 7 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 19 Integralregning

Vi har tidligere arbejdet med mange af anvendelserne for integraler (areal under graf, volumen af omdrejningslegeme, volumen under grafer i 3D, kurvelængde, areal af cirklen), så i dette forløb har der hovedsageligt været fokus på at kunne udregne integraler uden hjælp fra CAS.

Definition af stamfunktion
Integralregningens hovedsætning
Stamfunktioner for basale funktioner
Bestemmelse af bestemte og ubestemt integraler
Integration ved substitution (både for bestemte og ubestemte integraler)
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 14 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 20 Normalfordelingen

Repetition af kontinuerte og diskrete stokastiske variable.

Tæthedsfunktionen inkl. undersøgelse af egenskaber som maksimum, værdimængde og symmetri.
Fordelingsfunktionen
middelværdi og spredning og deres betydning for tæthedsfunktionens forskrift og graf. Herunder argumenter for sammenhængen.
Sandsynlighedsfordeling i karakteristiske intervaller (\mu+\sigma, \mu-\sigma, etc.)
Hvilke datasæt kan forventes at være normalfordelte og hvordan kan man undersøge om det er tilfældet.
Argument for hvordan man finder middelværdien for en kontinuert stokastisk variabel
Bevis for at middelværdien for standardnormalfordelingen er 0.
Bevis for at arealet under tæthedsfunktionen for standardnormalfordelingen er 1.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 10 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 21 Formidlingsforløb

Formålet med forløbet er at eleverne får en fornemmelse af, hvordan man kan skrive en formidlingsSRP.
Et projektarbejde på en uge hvor eleverne i gruppe skriver en formidlingsartikel om et af emnerne
Normalfordelingen
Vektorfunktioner
Integralregning
Funktioner af 2 variable.

I dansk diskuterer de hvilke kommunikative overvejelser de har gjort sig.
Som aflevering afleveres en matematisk redegørelse for emnet.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 5 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 22 Modelvurdering

Kort forløb om vurdering af (især) lineære modeller vha.
residualer
residualplot
r^2
normalfordelingsplot af residualerne
konfidensinterval for hældningen

Derudover en mere generel snak om, hvordan man kan eller ikke kan drage konklusioner i matematik, og hvilke fejlslutninger, man skal undgå
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 5 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 23 Differentialligninger

Hvad er en differentialligning?
Hvordan opstiller man differentialligninger?
Hvilken information kan man få ud af dem uden at løse dem: tangentligninger, betragtninger om væksthastighed (f.eks. maksimal væksthastighed), linjeelementer, hældningsfelt og Eulers metode
Løsning af visse typer af differentialligninger uden brug af CAS:
y'=ky
y'=b-ay
y'=b(x)-a(x)y
y'=ay(M-y)
samt bevis for deres løsningsformler

Separation af de variable behandles overfladisk.

I forbindelse med den logistisk ligning gennemgås logistisk vækst i et historisk perspektiv under inddragelse af den original kilde fra Verhulst.

Derudover betragtes vigtige egenskaber ved logistisk vækst herunder
Beskrivelse af populationsvækst
Grafens udseende
Konstanternes betydning for grafen særligt bæreevnen
Maksimal væksthastighed

Forløbet afbrydes af arbejde med forberedelsesmateriale op mod terminsprøven.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 29 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 25 Supplerende stof: Enigma

Vi arbejder med matematikken bag Enigma.
Det dækker både over at udregne hvor mange mulige indstillinger der er og noget f den matematik der blev brugt til at bryde koden.
Dette vil sige:
- simpel kombinatorik anvendt på den konkrete situation
- introduktion til permutationer og cykler
- sammensætning af permutationer
- inverse pernutationer
- konjugering af permutationer
- cykelstruktur er bevaret under konjugering (inkl. bevis)
- hvordan disse elementer tilsammen betyder, at man kan reducere antallet af mulige indstillinger drastisk
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 11 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer