Holdet 2022 MA/e - Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse

Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser
Termin(er) 2022/23 - 2024/25
Institution Viborg Katedralskole
Fag og niveau Matematik A
Lærer(e) Bjarke Møller Pedersen
Hold 2022 MA/e (1e MA, 2e MA, 3e MA)
Oversigt over gennemførte undervisningsforløb
Titel 1 Vektorregning 1
Titel 2 Eksponentiel vækst
Titel 3 Potens vækst
Titel 4 Andengradspolynomiet og polynomier generelt
Titel 5 Deskriptiv statistik
Titel 6 Vektorregning 2
Titel 7 Funktioner og indekstal
Titel 8 Polynomier
Titel 9 Differentialregning
Titel 10 Sandsynlighedsregning og kombinatorik
Titel 11 Differentialregning og andengradspolynomiet
Titel 12 Integralregning
Titel 13 Sammensatte funktioner
Titel 14 Analytisk geometri
Titel 15 Trigonometriske funktioner
Titel 16 Vektorfunktioner
Titel 17 Differentialligninger
Titel 18 Forberedelsesmateriale
Titel 19 Normalfordeling
Titel 20 Funktioner af to variable
Titel 21 Repetition
Titel 22 Historisk matematik

Beskrivelse af de enkelte undervisningsforløb (1 skema for hvert forløb)
Titel 1 Vektorregning 1

Forløbet har omhandlet vektorer og retvinklet trigonometri med udgangspunkt i vektorens polære koordinater.

Primære begreber:
Vektor
Stedvektor
Forbindelsesvektor
Enhedsvektor
Retningsvinkel
Længden af en vektor
Enhedscirklen
Sinus, Cosinus og Tangens
Polære koordinater
Retvinklede trigonometriske formler
Skalarprodukt
Vinkel mellem vektorer

Materiale:
Sider i bogen MAT A1

Beviser:
Forbindelsesvektorens koordinater
Længden af en vektor
Afstand mellem to punkter
De trigonometriske formler for den retvinklede trekant
Regneregler for skalarproduktet
Skalarproduktet er uafhængigt af koordinatsystemet
Vinkel mellem vektorer
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 19,00 moduler
Dækker over: 19 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 2 Eksponentiel vækst

Forløbet har omhandlet eksponentielle funktioner, logaritmefunktionen, potensregneregler og logaritmeregneregler


Begreber:
Potens og eksponent
Omvendt funktion
10-tals logaritmen
Vækstrate
Fremskrivningsfaktor
Begyndelsesværdi
Fordoblings- og halverings-konstant

Materiale:
Sider i bogen

Beviser:
Beviser for logaritmeregneregler (eleverne har selv lavet beviserne)
Topunktsformlen
Fordoblings- og halverings-konstant
Vækstegenskab
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 11,00 moduler
Dækker over: 11 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 3 Potens vækst

Forløbet har omhandlet potens funktioner, absolut vækst og relativ vækst.

Materiale:
Sider i bogen

Beviser:
a og b's betydning
vækstegenskaben
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 5,00 moduler
Dækker over: 5 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 4 Andengradspolynomiet og polynomier generelt

Forløbet har primært fokus på andengradspolynomiet, men højeregradspolynomier er kort blevet omtalt samt egenskaber ved disse. Udover det er det blevet arbejdet med kvadratsætninger og faktorisering.

Vigtige begreber
Andengradspolynomium
Koefficienter
Toppunkt
Rødder og Nulpunkter
Parabel
Andengradsligning
Diskriminant
Nulregel
Kvadratsætninger
Faktorisering

Beviser:
Diskriminantformlen
c-værdi for andengradspolynomium
Udledning af kvadratsætninger

Materiale:
Note om andengradspolynomier
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 9,00 moduler
Dækker over: 9 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 5 Deskriptiv statistik

Forløbet omhandler grupperede og ugrupperede 1 variabel datasæt. Forløbet har fokus på at give eleverne et begrebsapparat til at beskrive sådanne datasæt.

I forløbet er følgende begreber blevet indført:
Observationssæt
Observationssættets størrelse
Hyppighed
Frekvens
Typetal
Median
Kvartiler
Spredning
Varians
Interval
Boxplot
Sumkurve

Undervisningsformen i forløbet er selvlæst materiale i grupper med stopprøver undervejs.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 5,00 moduler
Dækker over: 9 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 6 Vektorregning 2

Forløbet tager anden del af vektorregningen.

Begreber
Projektion af vektor på vektor
Tværvektor
Determinant

Materiale:
Sider i bogen

Beviser:
Formel for projektion af vektor på vektor
Formel for længden af vektorprojektionen
Areal af det parallelogram to vektorer udspænder
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 7,00 moduler
Dækker over: 6 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 7 Funktioner og indekstal

Forløbet har omhandlet at danne grundlaget for arbejdet med funktionsbegrebet i 2.g, samt at introducere nogle af de sidste ting vi manglede i 1.g.

Begreber:
Indekstal
Procentpoint
Stykkevis funktion
Monotoniforhold
Tangent

Materiale:
Sider i bogen
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 6,00 moduler
Dækker over: 6 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 8 Polynomier

Forløbet har omhandlet polynomier generelt

Primært indhold:
n'te gradspolynomier
Grafisk udseende af polynomier generelt.
Faktorisering
Toppunktsformlen for 2. grads polynomiet.
Parallelforskydning af grafer.

Beviser.
Toppunktsformlen for 2.gradspolynomiet.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 4,00 moduler
Dækker over: 4 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 9 Differentialregning

Forløbet har omhandlet den første del af differentialregning.

Vigtige begreber:
Grænseværdi
Kontinuitet
Lokalt lineær
Sekant
Sekanthældning
Tangent
Tangenthældning
Væksthastighed
Tretrinsregel
Differentialkvotient
Grænseværdi
Afledt funktion
Tangentens ligning
Monotoniforhold
Optimering

Beviser gennemgået:
Differentialkvotient for ax^2+bx+c, x^3, 1/x, x^(1/2)
Tangentens ligning
Sum regel
Produktregnereglen

Primært materiale:
Sider i bogen se nedenfor
Note om grænseværdier og kontinuitet.
Differentialregning note

Undervisning:
Undervisningen har været bygget op sådan at eleverne først har haft en induktiv tilgang til, at forstå hvad differentialregning gå ud på ved at kigge på hvad det vil sige at en funktion er lokalt lineær og selve finde tangentligninger vha. skyder øvelser.
Derefter lære at differentiere, for derefter at indfører en mere formel definition på differentiabilitet og tretrinsreglen sådan beviser kunne laves.
Til sidst er der kigge på anvendelser og forløbet er afsluttet med et projekt om at finde målene på det optimale popcornbæger.
Indhold
Kernestof:

Supplerende stof:
Omfang Estimeret: 29,00 moduler
Dækker over: 25 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 10 Sandsynlighedsregning og kombinatorik

Forløbet omhandler kombinatorik og sandsynlighedsregning

Vigtige begreber
additionsprincip
Multiplikationsprincip
Permutationer
Kombinationer
Mængder
Udfald
Udfaldsrum
Sandsynlighed
Sandsynlighedsfelt
Hændelse
Uafhængige Hændelser
Stokastisk variabel
Middelværdi
Varians og spredning
Binomialmodel
Antalsparameter og sandsynlighedsparameter
Binomialsandsynlighed
Population
Stikprøve
Binomialtest
Signifikansniveau

Materiale:
Kompendium om kombinatorik
Sider i bogen.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 20,00 moduler
Dækker over: 24 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 11 Differentialregning og andengradspolynomiet

Kort forløb hvor eleverne har benyttet deres viden om differentialregning til at lave små beviser for andengradspolynomiet og grafen.

Beviser
(0,c)
Tangenten til grafen i (0,c) har ligningen y=b*x+c i (0,c)
x-koordinaten til toppunktet for parablen er -b/2a.
a's betydning for parablens grene.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 3,00 moduler
Dækker over: 3 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 12 Integralregning

Primære begreber:
Stamfunktion
Ubestemt integral
Bestemt integral
Punktmængde
Arealer af punktmængder
Rumfang af omdrejningslegemer
Kurvelængde

Beviser:
- Alle stamfunktioner til f(x) kan skrives som F(x)+k.
- Regneregler for det ubestemte integraler.
- Integralregningens hovedsætning
- Arealer mellem grafer (eleverne har selv bevist dette på et arbejdsark)
- Areal mellem førsteaksen og en negativ funktion (eleverne har selv bevist dette på et arbejdsark)
- Indskudsreglen.
- Volumen af et omdrejningslegeme
- Volumen formlerne for cylinder, kegle og kugle.

Materiale:
Sider i bogen og bestemmelse af rumfangsformlerne.

Projekt:
Bestemmelse af rumfangsformlerne, blev lavet som et projekt hvor eleverne selv skulle udlede rumfangsformlerne.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 21,00 moduler
Dækker over: 21 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 13 Sammensatte funktioner

Forløbet har omhandlet sammensatte og omvendte funktioner, samt hvordan disse differentieres og integreres. Udover dette er der blevet kigget på sammenhængen mellem a^x og e^kx, samt e^x og ln(x).

Nøgle begreber
Sammensat funktion
Kæderegel
Integration ved substitution
Injektiv
Omvendt funktion.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 7,00 moduler
Dækker over: 8 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 14 Analytisk geometri

Forløbet omhandler Linjer og Cirkler

Primære begreber.
Normalvektor
Retningsvektor
Linjens ligning
Parameterfremstilling
Afstand mellem punkt og linje
Skæring mellem linjer
Vinkel mellem linjer
Projektion af et punkt på en linje
Cirklens ligning
Skæring mellem Cirkel og linje
Tangent til cirkel

Beviser
Linjens ligning
Afstandsformlen
Cirklens ligning
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 15,00 moduler
Dækker over: 16 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 15 Trigonometriske funktioner

Forløbet omhandler de trigonometriske funktioner sin(x), cos(x) samt den harmoniske svingning.

Der er arbejdet med en induktiv tilgang til forståelsen funktionernes grafiske udseende. Hvorefter der derefter arbejdet med en deduktiv forståelse.

Vigtige begreber:
Radiantal
Amplitude
vinkelfrekvens
Periode/svingningstid
faseforskydning
lodret parallelforskydning

Materiale
Sider i bogen + arbejdsark
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 5,00 moduler
Dækker over: 6 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 16 Vektorfunktioner

Forløbet omhandlede vektorfunktioner. Eleverne arbejdede med forberedelsesmaterialet frem til og med s. 16 som optakt til en prøve og som træning til at læse et forberedelsesmateriale.

Primære begreber:
Vektorfunktioner
Koordinatfunktion
Parameterskurvensretning
Skæring med koordinatakser
Dobbeltpunkter
Tangentvektor
Tangent
Lodret og vandret tangent
Hastighedsvektor
Accelerationsvektor
Fart
Kurvelængde
Elimination af parametre
Parameterfremstilling for en cirkel

Beviser:
Kurvelængde for en vektorfunktion.
Parameterfremstillingen for en cirkel (udledning ikke dybdegående bevis)

Materiale:
Sider i bogen
Forberedelsesmateriale om vektorfunktioner til og med s. 18
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 12,00 moduler
Dækker over: 13 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 17 Differentialligninger

Forløbet har omhandlet differentialligninger. Det blev resultet med et SRP-lignende projekt om den fuldstændige løsning til lineære 1. ordens differentialling på 4 moduler.

Vigtige begreber:
Differentialligning
Orden af differentialligningen
At gøre prøve
Partikulær løsning
Fuldstændig løsning
Hældningsfelt/retningsfelt
Linjeelement
Eksistensdel og entydighedsdel af et bevis
Forskudt eksponentiel vækst
Logistisk vækst
Eulers metode (princippet er kort forklaret på tavlen)
Opstilling af differentialligning.
Analytisk løsning
Numerisk løsning

Beviser:
Fuldstændig løsning til y'=ky
Fuldstændig løsning til y'=b-ay
Fuldstændig løsning til y'=a*y*(M-y)
Grænseværdier for logistisk vækst
Bestemmelse af y-værdi for størst væksthastighed logistisk vækst
Bestemmelse af største væksthastighed for logistisk vækst

Primær materiale
Differentialligninger.2021.pdf (Vi har ikke gennemgået beviset for at separation af variable, samt beviset med separation af variable for logistisk vækst).
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 25,00 moduler
Dækker over: 26 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 18 Forberedelsesmateriale

Tiden er brugt på prøver og vejledning i forberedelsesmaterialet.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 5,00 moduler
Dækker over: 8 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 19 Normalfordeling

I forløbet er der blevet arbejdet med følgende:

- Kontinuerte stokastiske variable
- Tæthedsfunktioner for kontinuerte stokastiske variable
- Sandsynligheder for kontinuerte stokastiske variable
- Middelværdi for kontinuerte stokastiske varible
- Uegentlige integraler
- Fordelingsfunktioner
- Normalfordelingen (herunder tætheds- og fordelingsfunktion og sandsynligheder)
- Normale og exceptionelle udfald
- Middelværdi og spredning for en normalfordelt stokastisk variabel (betydning for tætheds- og fordelingsfunktionens grafs)
- Standartnormalfordelingen.
- Sammenhængen mellem fordelingsfunktionen for standartnormalfordelingen og sandsynligheder for en normalfordelt stokastisk variabel
- Fraktilplot (QQ-plot) og anvendelsen af denne til at afgøre om et datasæt tilnærmelsesvis er normalfordelt (TI-Nspire)
- Konfidensinterval for stikprøve.
- Konfidensinterval for hældning i lineær regression (blackboks)

Beviser:
- Middelværdien for en normalfordelt stokastisk variabel er lig my.
- Sammenhæng mellem fordelingsfunktion for standardnormalfordelingen og sandsynligheder for normalfordelingen.
- Formel for 95% konfidensintervaller

Materiale:
Video om QQ-plot
Uddrag af Lærebog i matematik A3 (LMA3.pdf) s. 133-137,140-143,146-151
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 13,00 moduler
Dækker over: 21 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 20 Funktioner af to variable

Forløbet har omhandlet funktioner af to variable.

Vigtige begreber:
Funktion af to variable
Snitfunktion og snitkurve
Niveaukurve
Partielt afledede
Gradient
Tangentplan
Ekstrema for funktioner af to variable
Stationære punkter
Dobbelt afledede
Arten af stationære punkter

Primær materiale:
Sider i bogen.

Undervisning:
Undervisningen har foregået meget struktureret hvor eleverne har afleveret det arbejde de har lavet i hvert enkelt modul i et hæfte og i en TI-nspire fil som kontrol.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 10,00 moduler
Dækker over: 11 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 22 Historisk matematik

Forløbet omhandler Newtons fluxionsregning og Leibniz differentialer.
Eleverne har været opdelt i grupper som har fordelt emnerne imellem sig.


Materiale:

Ole Olsen Om differentialregningens historie.pdf
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 4 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer